Номер 4.30, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. Объем куба $16\sqrt{2}$ см³. Докажите, что радиус окружности, описанной около грани куба, равен 2 см.

4.30. Пусть $a$ — длина ребра куба. Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. По условию задачи объем равен $16\sqrt{2}$ см³. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$a^3 = 16\sqrt{2}$.

Для нахождения длины ребра $a$ представим правую часть уравнения как куб некоторого числа. Заметим, что $16\sqrt{2} = (2\sqrt{2})^3$, так как $(2\sqrt{2})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.

Следовательно, $a^3 = (2\sqrt{2})^3$, откуда получаем, что длина ребра куба $a = 2\sqrt{2}$ см.

Гранью куба является квадрат. Сторона этого квадрата равна ребру куба, то есть $a = 2\sqrt{2}$ см.

Окружность, описанная около квадрата, имеет радиус $R$, который равен половине диагонали $d$ этого квадрата. Формула для радиуса: $R = \frac{d}{2}$.

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение стороны $a$:

$d = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Теперь можем найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Таким образом, доказано, что радиус окружности, описанной около грани куба, равен 2 см.

Ответ: 2 см.