Номер 4.28, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

4.28. Размеры углового шкафа, изображенного на рис. 4.15, указаны в миллиметрах. Найдите общую площадь материалов, израсходованных на его изготовление, и объем этого шкафа.

Рис. 4.15

Для решения задачи представим угловой шкаф как конструкцию, состоящую из двух прямоугольных параллелепипедов, соединенных вместе. Размеры даны в миллиметрах.

• Высота шкафа: $H = 2450$ мм.
• Глубина каждой секции: $d = 605$ мм.
• Общая длина по одной стене: $L_1 = 1225$ мм.
• Общая длина по другой стене: $L_2 = 1240$ мм.

Шкаф можно рассматривать как два блока:

• Блок 1 с габаритами $1225 \times 605 \times 2450$ мм.
• Блок 2, примыкающий к нему, с габаритами $(1240 - 605) \times 605 \times 2450 = 635 \times 605 \times 2450$ мм.

Найдите общую площадь материалов, израсходованных на его изготовление

Под «площадью материалов» будем понимать суммарную площадь всех панелей, образующих каркас шкафа (верх, низ, задние и боковые стенки). Будем считать, что передняя часть шкафа открыта (под полки или двери) и не требует сплошного материала. Также в расчете не будем учитывать внутренние полки и перегородки, так как их количество и точная конфигурация не заданы, а лишь показаны на эскизе.

1. Площадь верхней и нижней панелей ($S_{в/н}$).

Основание шкафа имеет L-образную форму. Его площадь можно найти как сумму площадей двух прямоугольников, составляющих шкаф, за вычетом площади их пересечения (которую мы посчитали дважды), или как сумму двух непересекающихся прямоугольников.

Площадь основания: $A_{осн} = (L_1 \times d) + (L_2 \times d) - (d \times d) = (1225 \times 605) + (1240 \times 605) - (605 \times 605)$.

$A_{осн} = 741125 + 750200 - 366025 = 1125300 \text{ мм}^2$.

Материал нужен для верхней и нижней панелей, поэтому их общая площадь: $S_{в/н} = 2 \times A_{осн} = 2 \times 1125300 = 2250600 \text{ мм}^2$.

2. Площадь задних стенок ($S_{задн}$).

Задняя стенка состоит из двух частей, примыкающих друг к другу в углу. Одна панель имеет размеры $L_1 \times H$, а вторая $(L_2-d) \times H$, чтобы избежать наложения.

$S_{задн} = (1225 \times 2450) + ((1240 - 605) \times 2450) = (1225 \times 2450) + (635 \times 2450)$.

$S_{задн} = 3001250 + 1555750 = 4557000 \text{ мм}^2$.

3. Площадь боковых стенок ($S_{бок}$).

Шкаф имеет две внешние боковые стенки (торцы). Каждая имеет размеры $d \times H$.

$S_{бок} = 2 \times (d \times H) = 2 \times (605 \times 2450) = 2 \times 1482250 = 2964500 \text{ мм}^2$.

4. Общая площадь материалов ($S_{общ}$).

Суммируем площади всех панелей:

$S_{общ} = S_{в/н} + S_{задн} + S_{бок} = 2250600 + 4557000 + 2964500 = 9772100 \text{ мм}^2$.

Для удобства переведем в квадратные метры: $1 \text{ м}^2 = 1000^2 \text{ мм}^2 = 1000000 \text{ мм}^2$.

$S_{общ} = 9772100 / 1000000 = 9.7721 \text{ м}^2$.

Ответ: $9772100 \text{ мм}^2$ (или $9.77$ м$^2$).

Найдите объем этого шкафа

Объем призмы, которой является шкаф, вычисляется по формуле: $V = A_{осн} \times H$, где $A_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Площадь L-образного основания мы уже рассчитали: $A_{осн} = 1125300 \text{ мм}^2$.

Высота шкафа: $H = 2450$ мм.

$V = 1125300 \times 2450 = 2756985000 \text{ мм}^3$.

Для удобства переведем в кубические метры: $1 \text{ м}^3 = 1000^3 \text{ мм}^3 = 1000000000 \text{ мм}^3$.

$V = 2756985000 / 1000000000 \approx 2.757 \text{ м}^3$.

Ответ: $2756985000 \text{ мм}^3$ (или $ \approx 2.76$ м$^3$).