Номер 4.33, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Основанием призмы является правильный треугольник. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 6, а боковые грани призмы являются квадратами. Чему равен объем призмы?

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Решим задачу в несколько шагов.

1. Нахождение стороны основания призмы

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом $R$ описанной около него окружности выражается формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, радиус $R = 6$. Выразим и найдем сторону $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

2. Нахождение высоты призмы

В условии сказано, что боковые грани призмы являются квадратами. Это означает, что высота призмы $h$ равна стороне ее основания $a$.

$h = a = 6\sqrt{3}$

3. Нахождение площади основания призмы

Площадь равностороннего треугольника $S_{осн}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение $a = 6\sqrt{3}$:

$S_{осн} = \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$

4. Нахождение объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$.

$V = S_{осн} \cdot h = 27\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}$

$V = 27 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 162 \cdot 3 = 486$

Ответ: 486.