Номер 4.40, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Основанием наклонной призмы является квадрат. Одно из ее боковых ребер, образующих равные углы со сторонами основания, наклонено к основанию под углом $ \phi $. Найдите объем призмы, если сторона ее основания равна $ a $, а боковое ребро – $ b $.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – это площадь основания, а $H$ – высота призмы.

1. Находим площадь основания.

Основанием призмы является квадрат со стороной $a$. Его площадь равна:

$S_{осн} = a^2$

2. Находим высоту призмы.

Высота призмы $H$ – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания. По условию, боковое ребро длиной $b$ наклонено к плоскости основания под углом $\phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза $b$), его проекцией на плоскость основания (один катет) и высотой призмы (второй катет $H$). Угол между боковым ребром и его проекцией как раз и есть угол наклона ребра к основанию, то есть $\phi$.

В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\phi$. Следовательно, ее можно найти через гипотенузу $b$:

$H = b \cdot \sin(\phi)$

Условие о том, что боковое ребро образует равные углы со сторонами основания, выходящими из той же вершины, означает, что проекция этого ребра на плоскость основания является биссектрисой угла квадрата. Это дополнительное условие определяет точную форму призмы, но для нахождения объема оно не требуется, так как высота однозначно определяется длиной бокового ребра и углом его наклона к плоскости основания.

3. Находим объем призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot (b \sin(\phi))$

$V = a^2 b \sin(\phi)$

Ответ: $a^2 b \sin(\phi)$.