Номер 4.43, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной призмы, равен $\text{R}$ и все боковые грани призмы являются квадратами. Найдите объем призмы.

Объем правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Поскольку призма правильная треугольная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Из этой формулы мы можем выразить сторону треугольника $a$ через радиус $R$:

$a = R\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника ($S_{осн}$) со стороной $a$ находится по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в эту формулу выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

В условии сказано, что все боковые грани призмы являются квадратами. Боковая грань — это прямоугольник, сторонами которого являются сторона основания ($a$) и высота призмы ($h$). Так как грань является квадратом, ее стороны равны. Следовательно, высота призмы равна стороне основания:

$h = a = R\sqrt{3}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2\right) \cdot (R\sqrt{3})$.

Упростим полученное выражение для объема:

$V = \frac{3\sqrt{3} \cdot R\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}R^3 = \frac{3 \cdot 3}{4}R^3 = \frac{9}{4}R^3$.

Ответ: $\frac{9}{4}R^3$.