Номер 4.45, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.45. В каком отношении делится объем пирамиды сечением, проходящим через середину ее высоты параллельно основанию?

Обозначим объем исходной пирамиды как $V$, площадь ее основания как $S$, а высоту как $H$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}SH$.

Секущая плоскость, проходящая через середину высоты параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Оставшаяся часть является усеченной пирамидой.

Пусть высота отсеченной (меньшей) пирамиды равна $h'$, а ее объем – $V'$. По условию, плоскость проходит через середину высоты $H$, следовательно, высота меньшей пирамиды составляет половину высоты исходной: $h' = \frac{H}{2}$.

Коэффициент подобия $k$ меньшей и исходной пирамид равен отношению их высот:

$k = \frac{h'}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Таким образом, отношение объема меньшей пирамиды $V'$ к объему исходной пирамиды $V$ составляет:

$\frac{V'}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

Из этого следует, что объем меньшей пирамиды равен $V' = \frac{1}{8}V$.

Объем второй части, усеченной пирамиды, обозначим как $V_{усеч.}$. Он равен разности объемов исходной пирамиды и отсеченной меньшей пирамиды:

$V_{усеч.} = V - V' = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$.

Сечение делит объем исходной пирамиды на две части: меньшую пирамиду (сверху) и усеченную пирамиду (снизу). Найдем отношение их объемов, двигаясь от вершины к основанию:

$\frac{V'}{V_{усеч.}} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, объем пирамиды делится сечением в отношении 1:7.

Ответ: 1:7.