Номер 4.50, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 1 см и 2 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите ее объем.

Объем правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Стороны оснований равны $a_1 = 1$ см и $a_2 = 2$ см. Найдем площади оснований: Площадь меньшего основания: $S_1 = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см². Площадь большего основания: $S_2 = \frac{2^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Теперь найдем высоту $h$. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота усеченной пирамиды $h$ и разность радиусов окружностей, описанных около оснований ($R_2 - R_1$), а гипотенузой — боковое ребро. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (равной $R_2 - R_1$) составляет $45^\circ$. Так как тангенс этого угла равен отношению $h$ к $R_2 - R_1$, получаем: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{R_2 - R_1}$. Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = R_2 - R_1$.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Найдем радиусы для наших оснований: $R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см. $R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см. Теперь можем найти высоту: $h = R_2 - R_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Подставим все найденные значения в формулу для объема. Сначала вычислим выражение в скобках: $S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь вычислим объем: $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{4} = \frac{7 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{7 \cdot 3}{36} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$ см³.

Ответ: $\frac{7}{12}$ см³.