Номер 4.49, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Основанием пирамиды является ромб со стороной $\text{a}$ и острым углом, равным $30^\circ$. Боковые грани, проходящие через вершину острого угла, перпендикулярны плоскости основания, а две другие грани с плоскостью основания образуют угол, равный $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Обозначим пирамиду $SABCD$, где основанием является ромб $ABCD$, а $S$ – вершина пирамиды. Пусть $\angle BAD = 30^{\circ}$ – острый угол ромба, и сторона ромба равна $a$.

1. Определение положения высоты пирамиды. По условию, боковые грани, проходящие через вершину острого угла $A$ (это грани $SAD$ и $SAB$), перпендикулярны плоскости основания. Если две плоскости ($SAD$ и $SAB$) перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCD$), то линия их пересечения (ребро $SA$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим ее длину как $H = SA$.

2. Нахождение площади основания. Основанием является ромб со стороной $a$ и острым углом $30^{\circ}$. Площадь ромба $S_{осн}$ вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $\alpha$ – угол между сторонами. $S_{осн} = a^2 \sin(30^{\circ}) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

3. Нахождение высоты пирамиды. По условию, две другие грани, $SBC$ и $SDC$, образуют с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания – это двугранный угол. Рассмотрим грань $SBC$. Линия пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(ABCD)$ – это прямая $BC$. Угол между этими плоскостями измеряется линейным углом. Построим этот угол. Так как $SA$ – перпендикуляр к плоскости основания, проведем в плоскости основания перпендикуляр $AK$ к прямой $BC$ ($AK \perp BC$). Соединим точки $S$ и $K$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ будет перпендикулярна прямой $BC$ ($SK \perp BC$). Следовательно, угол $\angle SKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием. По условию, $\angle SKA = 60^{\circ}$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. В ромбе $ABCD$ угол, смежный с острым, равен $\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $\angle ABC$ тупой, высота из вершины $A$ на прямую $BC$ упадет на ее продолжение за точку $B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $AB$ и высотой $AK$. Угол этого треугольника при вершине $B$ равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Тогда катет $AK$ равен: $AK = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $SAK$ (в котором $\angle SAK = 90^{\circ}$) найдем высоту пирамиды $H = SA$: $H = SA = AK \cdot \tan(\angle SKA) = \frac{a}{2} \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Вычисление объема пирамиды. Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты: $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.