Номер 4.52, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.52. Угол между диагональю правильной четырехугольной призмы и ее боковой гранью равен $30^\circ$, а сторона основания равна $\text{a}$. Найдите объем призмы.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA'B'C'D'$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$ со стороной, равной $a$. Следовательно, площадь основания $S_{осн} = a^2$. Высота призмы $h = AA'$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

Рассмотрим диагональ призмы $AC'$ и боковую грань $BCC'B'$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию диагонали $AC'$ на плоскость грани $BCC'B'$. Поскольку призма правильная, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ (так как $ABCD$ — квадрат). Также, боковое ребро $BB'$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $BB' \perp AB$. Таким образом, ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB'$) в плоскости $BCC'B'$, а значит, $AB$ перпендикулярно всей плоскости $(BCC'B')$.

Следовательно, отрезок $BC'$ является проекцией наклонной $AC'$ на плоскость $(BCC'B')$. Угол между наклонной $AC'$ и её проекцией $BC'$ и есть угол между диагональю призмы и боковой гранью. По условию, этот угол, $\angle AC'B$, равен $30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC'$. Он является прямоугольным, так как $AB \perp (BCC'B')$, а значит $AB \perp BC'$, и $\angle ABC' = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $AB$ равен стороне основания, то есть $AB = a$.

Используя тангенс угла $\angle AC'B$, найдем длину проекции $BC'$:

$\text{tg}(\angle AC'B) = \frac{AB}{BC'}$

$\text{tg}(30^\circ) = \frac{a}{BC'}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{BC'}$

Отсюда $BC' = a\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим боковую грань $BCC'B'$, которая является прямоугольником. Треугольник $\triangle BCC'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BCC'$. В нем $BC = a$ (сторона основания), $CC' = h$ (высота призмы), а $BC'$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$BC'^2 = BC^2 + CC'^2$

$(a\sqrt{3})^2 = a^2 + h^2$

$3a^2 = a^2 + h^2$

$h^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2$

$h = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Наконец, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot (a\sqrt{2}) = a^3\sqrt{2}$

Ответ: $a^3\sqrt{2}$.