Номер 4.41, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. Стороны основания треугольной призмы равны 5 см, 6 см и 9 см. Боковое ребро, равное 10 см, образует с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Найдите объем призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы. Для решения задачи необходимо последовательно найти площадь основания и высоту.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием призмы является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=6$ см и $c=9$ см. Для вычисления площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу Герона для вычисления площади основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2. Нахождение высоты призмы ($h$)

Высота призмы $h$, ее боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол $\alpha$, который боковое ребро образует с плоскостью основания, является углом между боковым ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом). Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу. Таким образом, высота вычисляется по формуле: $h = l \cdot \sin(\alpha)$.

По условию задачи, длина бокового ребра $l=10$ см, а угол $\alpha = 45^\circ$. Найдем высоту:

$h = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Нахождение объема призмы ($V$)

Теперь, когда известны и площадь основания, и высота, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 10\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50 \cdot (\sqrt{2})^2 = 50 \cdot 2 = 100 \text{ см}^3$.

Ответ: $100 \text{ см}^3$.