Номер 4.24, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы равна 20 см. Покажите, что объем призмы равен 1680 см³.

Для того чтобы показать, что объем призмы равен 1680 см³, необходимо вычислить его, используя предоставленные данные. Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота призмы.

В основании призмы лежит треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см. Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника.

1. Найдем полупериметр $p$ треугольника в основании: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

2. Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24 \cdot (24-10) \cdot (24-17) \cdot (24-21)}$ $S_{осн} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$ Для удобства вычисления разложим числа под корнем на множители: $S_{осн} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(8 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49}$ Извлекая корень из каждого множителя, получаем: $S_{осн} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

3. Высота призмы дана по условию и равна $h = 20$ см.

4. Найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h = 84 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 1680 \text{ см}^3$.

Таким образом, вычисленный объем призмы совпадает с заданным в условии значением, что и требовалось показать.

Ответ: Объем призмы равен $1680 \text{ см}^3$.