Номер 4.73, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.73. Площадь осевого сечения цилиндра равна $\text{S}$, а радиус $-R$. Найдите его объем, если:

1) $S=24$ см$^2$, $R=4$ см;

2) $S=70$ м$^2$, $R=5$ м;

3) $S=144$ дм$^2$, $R=6$ дм.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая – диаметру его основания $D = 2R$.

Площадь этого прямоугольника (осевого сечения) $S$ вычисляется по формуле: $S = D \cdot H = 2R \cdot H$.

Из этой формулы мы можем выразить высоту цилиндра: $H = \frac{S}{2R}$.

Объем цилиндра $V$ находится по формуле: $V = \pi R^2 H$.

Подставим выражение для $H$ в формулу объема:

$V = \pi R^2 \left(\frac{S}{2R}\right) = \frac{\pi R S}{2}$.

Теперь решим задачу для каждого из трех случаев, используя полученные формулы.

1) Дано: $S = 24 \text{ см}^2$, $R = 4 \text{ см}$.

Сначала найдем высоту цилиндра $H$:

$H = \frac{S}{2R} = \frac{24}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 \text{ см}$.

Теперь вычислим объем $V$:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \pi \cdot 16 \cdot 3 = 48\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $48\pi \text{ см}^3$.

2) Дано: $S = 70 \text{ м}^2$, $R = 5 \text{ м}$.

Найдем высоту цилиндра $H$:

$H = \frac{S}{2R} = \frac{70}{2 \cdot 5} = \frac{70}{10} = 7 \text{ м}$.

Вычислим объем $V$:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 7 = \pi \cdot 25 \cdot 7 = 175\pi \text{ м}^3$.

Ответ: $175\pi \text{ м}^3$.

3) Дано: $S = 144 \text{ дм}^2$, $R = 6 \text{ дм}$.

Найдем высоту цилиндра $H$:

$H = \frac{S}{2R} = \frac{144}{2 \cdot 6} = \frac{144}{12} = 12 \text{ дм}$.

Вычислим объем $V$:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \pi \cdot 36 \cdot 12 = 432\pi \text{ дм}^3$.

Ответ: $432\pi \text{ дм}^3$.