Номер 4.80, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.80. Высота сегмента шара радиусом $\text{R}$ равна $\text{h}$. Найдите объем этого сегмента и объем соответствующего шарового сектора, если:

1) $R=10 \text{ см}, h=5 \text{ см}$;

2) $R=6 \text{ м}, h=1 \text{ м}$.

Для решения задачи используются формулы для вычисления объема шарового сегмента и шарового сектора.

Объем шарового сегмента ($V_{сег}$) с высотой $h$ и радиусом шара $R$ определяется по формуле:

$V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

Объем соответствующего шарового сектора ($V_{сект}$) вычисляется по формуле:

$V_{сект} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$

1) Дано: $R = 10$ см, $h = 5$ см.

Вычисляем объем шарового сегмента, подставляя данные в формулу:

$V_{сег} = \pi \cdot 5^2 \cdot (10 - \frac{5}{3}) = 25\pi \cdot (\frac{30}{3} - \frac{5}{3}) = 25\pi \cdot \frac{25}{3} = \frac{625\pi}{3}$ см$^3$.

Вычисляем объем шарового сектора:

$V_{сект} = \frac{2}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 5 = \frac{2}{3} \pi \cdot 100 \cdot 5 = \frac{1000\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем сегмента равен $\frac{625\pi}{3}$ см$^3$, объем сектора равен $\frac{1000\pi}{3}$ см$^3$.

2) Дано: $R = 6$ м, $h = 1$ м.

Вычисляем объем шарового сегмента, подставляя данные в формулу:

$V_{сег} = \pi \cdot 1^2 \cdot (6 - \frac{1}{3}) = \pi \cdot (\frac{18}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{17\pi}{3}$ м$^3$.

Вычисляем объем шарового сектора:

$V_{сект} = \frac{2}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 1 = \frac{2}{3} \pi \cdot 36 = 2\pi \cdot 12 = 24\pi$ м$^3$.

Ответ: объем сегмента равен $\frac{17\pi}{3}$ м$^3$, объем сектора равен $24\pi$ м$^3$.