Номер 4.83, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.83. Из круглой жести радиусом 20 см вырезали круговой сектор с центральным углом 240° и из него свернули конус. Найдите объем этого конуса.

Для решения этой задачи необходимо пошагово найти параметры конуса, образованного из кругового сектора, а затем вычислить его объем.

1. Находим образующую конуса и радиус его основания.

Когда круговой сектор сворачивают в конус, радиус этого сектора становится образующей конуса ($l$). Длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса.

Радиус круглой жести, из которой вырезали сектор, равен 20 см. Следовательно, образующая конуса $l = 20$ см.

Длину дуги сектора ($L$) найдем по формуле: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $R$ - радиус сектора, а $\alpha$ - его центральный угол.

Подставляем известные значения:

$L = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 20 = \frac{2}{3} \cdot 40\pi = \frac{80\pi}{3}$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$), которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ - радиус основания конуса.

Приравниваем $L$ и $C$:

$2\pi r = \frac{80\pi}{3}$

Разделим обе части на $2\pi$:

$r = \frac{80\pi}{3 \cdot 2\pi} = \frac{40}{3}$ см.

2. Находим высоту конуса.

Образующая ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) связаны теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

Отсюда высота $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Подставляем наши значения:

$h = \sqrt{20^2 - \left(\frac{40}{3}\right)^2} = \sqrt{400 - \frac{1600}{9}} = \sqrt{\frac{3600 - 1600}{9}} = \sqrt{\frac{2000}{9}}$

Упрощаем выражение:

$h = \frac{\sqrt{2000}}{3} = \frac{\sqrt{400 \cdot 5}}{3} = \frac{20\sqrt{5}}{3}$ см.

3. Находим объем конуса.

Объем конуса ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Подставляем найденные значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{40}{3}\right)^2 \left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1600}{9}\right) \left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right)$

$V = \frac{\pi \cdot 1600 \cdot 20\sqrt{5}}{3 \cdot 9 \cdot 3} = \frac{32000\pi\sqrt{5}}{81}$ см³.

Ответ: $V = \frac{32000\pi\sqrt{5}}{81}$ см³.