Номер 4.81, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.81. Плоскость, параллельная оси цилиндра, проходит на расстоянии 15 см от этой оси. Диагональ образованного сечения равна 20 см, а радиус цилиндра - 17 см. Найдите объем цилиндра.

Для решения задачи найдем высоту цилиндра и площадь его основания.

1. Нахождение ширины сечения.

Секущая плоскость, параллельная оси цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника — хорда $a$ в круге, являющемся основанием цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это расстояние от центра основания до этой хорды. Обозначим это расстояние как $d = 15$ см. Радиус основания цилиндра $R = 17$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Этот треугольник равнобедренный. Расстояние $d$ от центра до хорды является в нем высотой, медианой и биссектрисой. Эта высота делит хорду на две равные части $a/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина хорды $(a/2)$ и расстояние $d$, а гипотенузой — радиус $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (a/2)^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = 15^2 + (a/2)^2$

$289 = 225 + (a/2)^2$

$(a/2)^2 = 289 - 225 = 64$

$a/2 = \sqrt{64} = 8$ см

Следовательно, ширина сечения (хорда) равна $a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра.

Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ (ширина, которую мы нашли) и $h$ (высота цилиндра). Диагональ этого прямоугольника дана в условии и равна $l = 20$ см. Для прямоугольника справедливо соотношение (по теореме Пифагора):

$l^2 = a^2 + h^2$

Подставим известные значения $l$ и $a$:

$20^2 = 16^2 + h^2$

$400 = 256 + h^2$

$h^2 = 400 - 256 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см

Таким образом, высота цилиндра равна 12 см.

3. Нахождение объема цилиндра.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$

Подставим значения радиуса $R = 17$ см и высоты $h = 12$ см:

$V = \pi \cdot 17^2 \cdot 12$

$V = \pi \cdot 289 \cdot 12$

$V = 3468\pi$ см$^3$

Ответ: $3468\pi \text{ см}^3$.