Номер 4.82, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.82. Свернули полукруг радиусом 6 см в конус (рис. 4.33). Найдите объем конуса.

Рис. 4.33

При сворачивании полукруга в конус его радиус становится образующей конуса ($L$), а длина дуги полукруга – длиной окружности основания конуса ($C$).

По условию, радиус полукруга равен 6 см. Следовательно, образующая конуса $L = 6$ см.

Длина дуги полукруга вычисляется как половина длины полной окружности с тем же радиусом: $C_{дуги} = \pi \cdot R_{полукруга}$.

$C_{дуги} = \pi \cdot 6 = 6\pi$ см.

Эта длина равна периметру основания конуса ($C_{основания} = 2\pi r_{конуса}$).

Найдем радиус основания конуса ($r_{конуса}$), приравняв два выражения для длины окружности:

$2\pi r_{конуса} = 6\pi$

$r_{конуса} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.

Образующая конуса ($L$), его высота ($h$) и радиус основания ($r_{конуса}$) образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора найдем высоту конуса:

$L^2 = h^2 + r_{конуса}^2$

$6^2 = h^2 + 3^2$

$36 = h^2 + 9$

$h^2 = 36 - 9 = 27$

$h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r_{конуса}^2 h$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot (3\sqrt{3})$

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3}$

$V = 9\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $9\pi\sqrt{3}$ см³.