Номер 4.88, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.88. В конус вписана сфера радиусом $\text{r}$, площадь которой равна площади основания конуса. Найдите объем конуса.

Пусть $r$ — радиус вписанной сферы, $R$ — радиус основания конуса, и $H$ — высота конуса.

Площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$) вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi r^2$.

Площадь основания конуса ($S_{основания}$) вычисляется по формуле $S_{основания} = \pi R^2$.

Согласно условию задачи, эти площади равны:

$S_{сферы} = S_{основания}$

$4\pi r^2 = \pi R^2$

Из этого равенства мы можем найти радиус основания конуса $R$ через радиус сферы $r$:

$R^2 = 4r^2 \implies R = 2r$.

Теперь найдем высоту конуса $H$. Для этого рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиусом $r$ (которая является сечением сферы).

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр основания, $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle SOA$ — это прямоугольный треугольник, где $SO = H$ (высота конуса) и $OA = R$ (радиус основания). Пусть $O_1$ — центр вписанной сферы, он лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра $O_1$ до основания конуса равно радиусу сферы $r$, то есть $O_1O=r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образовавшиеся в осевом сечении. Пусть $K$ — точка касания сферы и образующей $SA$. Тогда $\triangle SO_1K$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $SO_1$ и катетом $O_1K = r$.

Треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SO_1K$ подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{O_1K}{OA} = \frac{SO_1}{SA}$

В этом соотношении:

• $O_1K = r$ (радиус сферы)
• $OA = R = 2r$ (радиус основания конуса)
• $SO_1 = SO - O_1O = H - r$
• $SA = L$ (образующая конуса), $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + (2r)^2}$

Подставим известные величины в соотношение, используя отношение $\frac{O_1K}{OA} = \frac{SO_1}{SA}$ :

$\frac{r}{2r} = \frac{H-r}{\sqrt{H^2 + (2r)^2}}$

$\frac{1}{2} = \frac{H-r}{\sqrt{H^2 + 4r^2}}$

Умножим обе части на $2\sqrt{H^2 + 4r^2}$:

$\sqrt{H^2 + 4r^2} = 2(H-r)$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня (при этом $H > r$):

$H^2 + 4r^2 = 4(H-r)^2$

$H^2 + 4r^2 = 4(H^2 - 2Hr + r^2)$

$H^2 + 4r^2 = 4H^2 - 8Hr + 4r^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3H^2 - 8Hr = 0$

$H(3H - 8r) = 0$

Поскольку высота конуса $H$ не может быть равна нулю, единственным решением является:

$3H - 8r = 0 \implies H = \frac{8}{3}r$

Теперь, зная радиус основания $R = 2r$ и высоту $H = \frac{8}{3}r$, мы можем вычислить объем конуса ($V_{конуса}$) по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 \left(\frac{8}{3}r\right) = \frac{1}{3}\pi (4r^2) \left(\frac{8}{3}r\right) = \frac{32}{9}\pi r^3$

Ответ: $\frac{32}{9}\pi r^3$.