Номер 4.84, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.84. Как изменится объем цилиндра, если его радиус увеличить на $40\%$, а высоту уменьшить наполовину?

А). Уменьшится на $2\%$.

В). Уменьшится на $30\%$.

С). Увеличится на $30\%$.

D). Увеличится на $2\%$.

Обозначим первоначальный радиус цилиндра как $r_1$, а первоначальную высоту как $h_1$.

Формула для вычисления объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$.

Таким образом, первоначальный объем цилиндра $V_1$ составляет:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1$

По условию задачи, радиус цилиндра увеличивается на 40%. Найдем новый радиус $r_2$:

$r_2 = r_1 + 0.40 \cdot r_1 = 1.4 \cdot r_1$

Высота цилиндра уменьшается наполовину. Найдем новую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{h_1}{2} = 0.5 \cdot h_1$

Теперь вычислим новый объем цилиндра $V_2$, используя новые значения радиуса и высоты:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (1.4 \cdot r_1)^2 (0.5 \cdot h_1)$

Упростим полученное выражение:

$V_2 = \pi \cdot (1.4^2 \cdot r_1^2) \cdot (0.5 \cdot h_1)$

$V_2 = \pi \cdot (1.96 \cdot r_1^2) \cdot (0.5 \cdot h_1)$

Сгруппируем числовые коэффициенты и оставшиеся переменные, которые составляют первоначальный объем:

$V_2 = (1.96 \cdot 0.5) \cdot (\pi r_1^2 h_1)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$1.96 \cdot 0.5 = 0.98$

Теперь мы можем выразить новый объем $V_2$ через первоначальный объем $V_1$:

$V_2 = 0.98 \cdot (\pi r_1^2 h_1) = 0.98 \cdot V_1$

Это означает, что новый объем составляет 98% от первоначального объема. Чтобы найти, на сколько процентов изменился объем, нужно из 100% вычесть полученный процент:

$100\% - 98\% = 2\%$

Так как новый объем меньше первоначального ($0.98 \cdot V_1 < V_1$), объем цилиндра уменьшился на 2%.

Ответ: A). Уменьшится на 2%.