Номер 4.96, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.96*. Докажите, что площадь поверхности сегмента шара радиусом $\text{R}$ определяется по формуле $S = 2\pi Rh$ ($\text{h}$ - высота шарового сегмента).

Для доказательства этой формулы мы можем использовать метод вычисления площади поверхности тела вращения, полученного с помощью интегрирования.

Рассмотрим шар радиусом $R$ с центром в начале координат $(0,0)$. Уравнение окружности, которая образует этот шар при вращении вокруг оси $Ox$, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Для верхней полуокружности это уравнение можно записать в виде функции $y = f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ на отрезке $x \in [-R, R]$.

Шаровой сегмент — это часть сферы, отсекаемая плоскостью. Высота сегмента, $h$, — это расстояние от плоскости сечения до наиболее удаленной точки сегмента на сфере. Будем считать, что наш сегмент отсечен от "верха" шара, то есть он соответствует значениям $x$ от $R-h$ до $R$.

Площадь поверхности тела, образованного вращением кривой $y=f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} 2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} dx$

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \frac{d}{dx}\sqrt{R^2 - x^2} = \frac{1}{2\sqrt{R^2 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

Теперь вычислим выражение $1 + (y')^2$:

$1 + (y')^2 = 1 + \left(-\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{(R^2 - x^2) + x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$

Тогда корень из этого выражения будет равен:

$\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{\frac{R^2}{R^2 - x^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

Теперь подставим все найденные значения в подынтегральное выражение для площади поверхности:

$2\pi y \sqrt{1 + (y')^2} = 2\pi \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 2\pi R$

Удивительно, но подынтегральное выражение оказалось константой. Теперь мы можем вычислить интеграл для нахождения площади поверхности шарового сегмента высотой $h$. Пределы интегрирования для такого сегмента будут от $a = R-h$ до $b = R$.

$S = \int_{R-h}^{R} 2\pi R \,dx$

Так как $2\pi R$ является константой, мы можем вынести ее за знак интеграла:

$S = 2\pi R \int_{R-h}^{R} dx = 2\pi R [x]_{R-h}^{R} = 2\pi R (R - (R-h)) = 2\pi R (R - R + h) = 2\pi R h$

Таким образом, мы доказали, что площадь поверхности сегмента шара радиусом $R$ и высотой $h$ действительно определяется по формуле $S = 2\pi R h$.

Ответ: Что и требовалось доказать.