Вопросы, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какими свойствами обладает шар, вписанный в призму? Приведите примеры.

2. Что вы можете сказать о комбинации шара и цилиндра?

3. Что вы знаете о комбинации шара и конуса? Приведите примеры.

4. Перечислите свойства комбинации шара и пирамиды.

1. Какими свойствами обладает шар, вписанный в призму? Приведите примеры.

Шар называется вписанным в призму, если он касается всех ее граней (обоих оснований и всех боковых граней).

Основные свойства и условия:

• В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда она является прямой призмой, в основание которой можно вписать окружность.
• Центр вписанного шара равноудален от всех граней призмы. Он лежит на середине высоты призмы, в плоскости, параллельной основаниям.
• Проекция центра шара на плоскость основания совпадает с центром окружности, вписанной в основание призмы.
• Высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара, то есть $H = 2R$, где $R$ — радиус шара.
• Радиус вписанного шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы, то есть $R = r$.

Примеры:

1. Куб. Куб — это прямая призма, основанием которой является квадрат. В квадрат можно вписать окружность. Высота куба равна его ребру $a$, радиус вписанного шара $R = a/2$. Условие $H=2R$ выполняется, так как $a = 2(a/2)$.
2. Правильная треугольная призма. Если в основание (равносторонний треугольник) можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности, то в такую призму можно вписать шар.

В призму, основанием которой является прямоугольник (не квадрат), нельзя вписать шар, так как в такой прямоугольник нельзя вписать окружность.

2. Что вы можете сказать о комбинации шара и цилиндра?

Существуют две основные комбинации шара и цилиндра: шар, вписанный в цилиндр, и цилиндр, вписанный в шар.

1. Шар, вписанный в цилиндр

Шар считается вписанным в цилиндр, если он касается обоих оснований цилиндра и всей его боковой поверхности.

• Такая комбинация возможна только для так называемого равностороннего цилиндра, у которого высота $H$ равна диаметру основания $2R_{ц}$.
• Центр шара совпадает с центром цилиндра (серединой отрезка, соединяющего центры оснований).
• Радиус шара $R_{ш}$ равен радиусу основания цилиндра $R_{ц}$, а высота цилиндра $H$ равна диаметру шара $2R_{ш}$. То есть, $R_{ш} = R_{ц}$ и $H = 2R_{ш}$.
• Объем шара составляет $2/3$ от объема описанного вокруг него цилиндра: $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R_{ш}^3$, $V_{ц} = \pi R_{ц}^2 H = \pi R_{ш}^2 (2R_{ш}) = 2\pi R_{ш}^3$. Таким образом, $V_{ш} = \frac{2}{3}V_{ц}$.

2. Цилиндр, вписанный в шар

Цилиндр считается вписанным в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара.

• Ось такого цилиндра проходит через центр шара.
• Между радиусом шара $R$, радиусом основания цилиндра $r$ и высотой цилиндра $H$ существует зависимость, которая следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом цилиндра и половиной высоты цилиндра: $R^2 = r^2 + (H/2)^2$.
• Для одного и того же шара можно построить бесконечное множество вписанных в него цилиндров разной высоты и радиуса основания.

3. Что вы знаете о комбинации шара и конуса? Приведите примеры.

Аналогично цилиндру, для конуса и шара рассматривают два основных случая: шар, вписанный в конус, и конус, вписанный в шар.

1. Шар, вписанный в конус

Шар называется вписанным в конус, если он касается основания конуса и его боковой поверхности.

• Центр вписанного шара лежит на высоте конуса.
• Шар касается боковой поверхности конуса по окружности.
• Радиус вписанного шара $R$ связан с параметрами конуса (радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$) через рассмотрение осевого сечения. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиусом $R$. Формула для радиуса: $R = \frac{r \cdot h}{r+l}$.

2. Конус, вписанный в шар

Конус считается вписанным в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара.

• Высота конуса лежит на диаметре шара.
• Центр шара лежит на высоте конуса.
• Между радиусом шара $R_{ш}$, радиусом основания конуса $r_{к}$, и его высотой $h_{к}$ существует зависимость, получаемая из осевого сечения: $r_{к}^2 + (h_{к} - R_{ш})^2 = R_{ш}^2$. После преобразований получаем: $h_{к}^2 + r_{к}^2 = 2h_{к}R_{ш}$.

Примеры:

В любой прямой круговой конус можно вписать шар, и любой прямой круговой конус можно вписать в шар. Например, в равносторонний конус (у которого образующая равна диаметру основания, $l=2r$) также можно вписать шар и его можно вписать в шар.

4. Перечислите свойства комбинации шара и пирамиды.

Рассматривают два вида комбинаций: шар, вписанный в пирамиду, и шар, описанный около пирамиды.

1. Шар, вписанный в пирамиду

Шар вписан в пирамиду, если он касается ее основания и всех боковых граней.

• Условие: Шар можно вписать в пирамиду тогда и только тогда, когда основание ее высоты совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (то есть двугранные углы при основании пирамиды равны).
• Свойства:
  • Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды.
  • Центр равноудален от всех граней пирамиды.
  • Радиус вписанного шара $R$ можно найти по формуле, связывающей объем и полную поверхность пирамиды: $R = \frac{3V}{S_{полн}}$.
  • Для правильной пирамиды всегда существует вписанный шар. Его радиус $R$ связан с высотой пирамиды $H$, апофемой $A$ и радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$ соотношением, полученным из подобия треугольников в осевом сечении: $\frac{R}{H-R} = \frac{r_{осн}}{A}$.

2. Шар, описанный около пирамиды

Шар описан около пирамиды, если все ее вершины (и вершина пирамиды, и вершины основания) лежат на поверхности шара.

• Условие: Шар можно описать около пирамиды тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.
• Свойства:
  • Центр описанного шара — точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды.
  • Центр лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр окружности, описанной около основания.
  • Для правильной пирамиды центр описанного шара лежит на ее высоте.
  • Радиус описанного шара $R$ для правильной пирамиды можно найти по формуле: $R = \frac{H^2 + r_{оп}^2}{2H}$, где $H$ — высота пирамиды, а $r_{оп}$ — радиус окружности, описанной около основания.