Работа в группе, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Комбинация шара и призмы

Если шар вписан в призму (рис. 4.34), то:

1) высота призмы равна диаметру шара;

2) точки касания боковых граней призмы с шаром расположены на плоскости, проходящей через центр шара перпендикулярно боковым ребрам призмы;

3) радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Рис. 4.34

Не всегда около данной призмы можно описать сферу или вписать в нее шар. Для того чтобы около данной прямой призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность.

Работа в группе

Для того чтобы в данную прямую призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, и диаметр этой окружности был равен высоте призмы. При обосновании утверждения используйте соответствующие готовые рисунки.

Для доказательства утверждения необходимо доказать его в обе стороны: необходимость и достаточность указанного условия.

Доказательство необходимости

Предположим, что в прямую призму вписан шар. Это означает, что шар касается всех ее граней (верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней). Пусть $R$ — радиус этого шара, а $H$ — высота призмы.

1. Поскольку шар касается верхнего и нижнего оснований, которые являются параллельными плоскостями, расстояние между ними равно диаметру шара. Расстояние между основаниями призмы — это ее высота $H$. Следовательно, $H = 2R$.

2. Рассмотрим сечение призмы и шара плоскостью, проходящей через центр шара $O$ перпендикулярно боковым ребрам. В сечении мы получим многоугольник, конгруэнтный основанию призмы, и большой круг шара (с радиусом $R$). Так как шар касается всех боковых граней, этот круг будет вписан в полученный многоугольник.

3. Из этого следует, что в основание призмы можно вписать окружность. Радиус этой окружности, $r_{вп}$, будет равен радиусу вписанного шара $R$, то есть $r_{вп} = R$. Диаметр этой окружности $d_{вп} = 2r_{вп} = 2R$.

4. Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 1 и 3, имеем $H = 2R$ и $d_{вп} = 2R$. Отсюда следует, что высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание: $H = d_{вп}$.

Таким образом, необходимость условия доказана.

Доказательство достаточности

Пусть дана прямая призма, в основание которой можно вписать окружность радиуса $r_{вп}$, и высота призмы $H$ равна диаметру этой окружности, то есть $H = 2r_{вп}$. Докажем, что в эту призму можно вписать шар.

1. Для этого нам нужно найти точку, равноудаленную от всех граней призмы. Эта точка станет центром вписанного шара.

2. Выберем в качестве центра предполагаемого шара (точку $O$) середину отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Эта точка будет находиться на высоте $H/2$ от каждого из оснований.

3. Определим радиус нашего шара $R$ как половину высоты призмы: $R = H/2$. Из условия $H = 2r_{вп}$ следует, что $R = r_{вп}$.

4. Проверим, что шар с центром $O$ и радиусом $R$ касается всех граней призмы.

- Расстояние от центра $O$ до верхнего и нижнего оснований призмы равно $H/2$. Так как мы определили $R = H/2$, то шар касается обоих оснований.

- Расстояние от центра $O$ до каждой из боковых граней прямой призмы равно расстоянию от оси призмы (проходящей через центры вписанных окружностей) до этой грани. Это расстояние, в свою очередь, равно расстоянию от центра вписанной в основание окружности до соответствующей стороны основания, то есть равно $r_{вп}$. Поскольку мы выбрали $R = r_{вп}$, шар касается всех боковых граней.

5. Так как мы нашли точку $O$ и радиус $R$, такие, что шар с этими параметрами касается всех граней призмы, это означает, что данный шар вписан в призму.

Таким образом, достаточность условия доказана.

Ответ: Утверждение полностью доказано. Для того чтобы в данную прямую призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, и диаметр этой окружности был равен высоте призмы.