Номер 2.62, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Найдите угол между плоскостями:

1) $x + 2y + z - 6 = 0$ и $x - y - 2z + 3 = 0$;

2) $x + 3y - 2z - 6 = 0$ и $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

1) Угол между двумя плоскостями — это угол между их нормальными векторами. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор нормали $\vec{n}$ имеет координаты $(A, B, C)$.

Для первой плоскости $x + 2y + z - 6 = 0$ вектор нормали $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$.

Для второй плоскости $x - y - 2z + 3 = 0$ вектор нормали $\vec{n_2} = (1, -1, -2)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 1 - 2 - 2 = -3$.

Далее найдем модули (длины) этих векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

Ответ: $60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$).

2) Аналогично первому пункту, определим нормальные векторы для данных плоскостей.

Для плоскости $x + 3y - 2z - 6 = 0$ вектор нормали $\vec{n_1} = (1, 3, -2)$.

Для плоскости $2x + 3y - 2z - 4 = 0$ вектор нормали $\vec{n_2} = (2, 3, -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2) = 2 + 9 + 4 = 15$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

Вычислим косинус угла между плоскостями:

$\cos \theta = \frac{|15|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}} = \frac{15}{\sqrt{14 \cdot 17}} = \frac{15}{\sqrt{238}}$.

Следовательно, искомый угол $\theta$ равен арккосинусу этого значения.

$\theta = \arccos\left(\frac{15}{\sqrt{238}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{15}{\sqrt{238}}\right)$.