Работа в группе, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Что вы понимаете под углом между прямой и плоскостью? Что называется проекцией прямой на плоскость?

Как можно применить векторы $\bar{p}(m;n;k)$ и $\bar{n}(a;b;c)$ для определения угла между прямой и плоскостью? Обоснуйте ответ.

Применяя эти результаты обсуждения, найдите углы между следующими прямыми и плоскостями.

Уравнение прямой $\text{l}$

Уравнение плоскости $\alpha$

$\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$

$x + 2y + z - 6 = 0$

$x = 2-t, y = 15+2t, z = 3t-5$

$x - y - 2z + 3 = 0$

$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$

$x + 3y - 2z - 6 = 0$

$x = 7+5t, y = 4+t, z = 5+4t$

$2x + 3y - 2z - 4 = 0$

Что вы понимаете под углом между прямой и плоскостью? Что называется проекцией прямой на плоскость?

Углом между прямой и плоскостью называется угол между самой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол считается равным $0^\circ$. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$. Во всех остальных случаях угол является острым.

Проекцией прямой на плоскость называется множество всех точек, являющихся ортогональными проекциями точек данной прямой на эту плоскость. Если прямая не перпендикулярна плоскости, её проекцией является прямая. Если прямая перпендикулярна плоскости, её проекцией является точка — точка их пересечения.

Ответ: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекция прямой на плоскость — это множество проекций всех точек прямой на эту плоскость.

Как можно применить векторы $\vec{p}(m; n; k)$ и $\vec{n}(a; b; c)$ для определения угла между прямой и плоскостью? Обоснуйте ответ.

Пусть $\varphi$ — искомый угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$. Направляющий вектор прямой $l$ — это $\vec{p}=\{m; n; k\}$, а нормальный вектор плоскости $\alpha$ — это $\vec{n}=\{a; b; c\}$.

Угол $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{p}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$ можно найти с помощью скалярного произведения: $\cos(\beta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{n}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|}$.

Поскольку нормальный вектор $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он также перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая и проекцию прямой $l$. Угол $\varphi$ между прямой $l$ и её проекцией и угол $\beta$ между направляющим вектором прямой $l$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$ являются дополнительными друг к другу, то есть их сумма составляет $90^\circ$ ($\varphi + \beta = 90^\circ$).

Из этого следует, что $\sin(\varphi) = \cos(\beta)$. Так как по определению угол $\varphi$ между прямой и плоскостью является острым ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$), его синус должен быть неотрицательным. Поэтому для вычисления синуса угла $\varphi$ используется модуль косинуса угла $\beta$: $\sin(\varphi) = |\cos(\beta)| = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|am + bn + ck|}{\sqrt{m^2 + n^2 + k^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Ответ: Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью находится по формуле $\sin(\varphi) = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{p}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — нормальный вектор плоскости.

Применяя эти результаты обсуждения, найдите углы между следующими прямыми и плоскостями.

1. Даны прямая $l: \frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ и плоскость $\alpha: x + 2y + z - 6 = 0$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{p} = \{8; 2; 3\}$. Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = \{1; 2; 1\}$.

Найдем синус угла $\varphi$ между ними по формуле: $\sin(\varphi) = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|8 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{8^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}}$.

Вычисляем скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{n} = 8 + 4 + 3 = 15$.

Вычисляем модули векторов: $|\vec{p}| = \sqrt{64 + 4 + 9} = \sqrt{77}$. $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Подставляем значения: $\sin(\varphi) = \frac{|15|}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{6}} = \frac{15}{\sqrt{462}}$.

Следовательно, искомый угол $\varphi = \arcsin\left(\frac{15}{\sqrt{462}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{15}{\sqrt{462}}\right)$.

2. Даны прямая $l: x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5$ и плоскость $\alpha: x - y - 2z + 3 = 0$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{p} = \{-1; 2; 3\}$. Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = \{1; -1; -2\}$.

Найдем синус угла $\varphi$: $\sin(\varphi) = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2)|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}}$.

Скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{n} = -1 - 2 - 6 = -9$.

Модули векторов: $|\vec{p}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$. $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.

Подставляем значения: $\sin(\varphi) = \frac{|-9|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{84}} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$.

Следовательно, искомый угол $\varphi = \arcsin\left(\frac{9}{2\sqrt{21}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{9}{2\sqrt{21}}\right)$.

3. Даны прямая $l: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$ и плоскость $\alpha: x + 3y - 2z - 6 = 0$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{p} = \{2; 4; 3\}$. Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = \{1; 3; -2\}$.

Найдем синус угла $\varphi$: $\sin(\varphi) = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-2)|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2}}$.

Скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{n} = 2 + 12 - 6 = 8$.

Модули векторов: $|\vec{p}| = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$. $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

Подставляем значения: $\sin(\varphi) = \frac{|8|}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{406}}$.

Следовательно, искомый угол $\varphi = \arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{406}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{406}}\right)$.

4. Даны прямая $l: x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$ и плоскость $\alpha: 2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{p} = \{5; 1; 4\}$. Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = \{2; 3; -2\}$.

Найдем синус угла $\varphi$: $\sin(\varphi) = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|5 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2)|}{\sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2}}$.

Скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{n} = 10 + 3 - 8 = 5$.

Модули векторов: $|\vec{p}| = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$. $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

Подставляем значения: $\sin(\varphi) = \frac{|5|}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{714}}$.

Следовательно, искомый угол $\varphi = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{714}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{714}}\right)$.