Номер 2.58, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.58. Даны вершины треугольника ABC: $A(2; 0)$, $B(0; 3)$, $C(-1; 1)$. Найдите косинусы углов треугольника.

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся методом векторов. Косинус угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, выходящими из одной вершины, равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин (модулей):

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Координаты векторов, выходящих из вершин, находятся как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Найдем косинус угла A

Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Найдем их координаты, используя данные вершин $A(2; 0)$, $B(0; 3)$, $C(-1; 1)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (0 - 2; 3 - 0) = (-2; 3)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-1 - 2; 1 - 0) = (-3; 1)$

Скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-3) + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9$

Длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь вычислим косинус угла A:

$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{9}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$

Ответ: $\cos A = \frac{9}{\sqrt{130}}$

Найдем косинус угла B

Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (2 - 0; 0 - 3) = (2; -3)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-1 - 0; 1 - 3) = (-1; -2)$

Скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot (-2) = -2 + 6 = 4$

Длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Вычислим косинус угла B:

$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{4}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

Ответ: $\cos B = \frac{4}{\sqrt{65}}$

Найдем косинус угла C

Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (2 - (-1); 0 - 1) = (3; -1)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (0 - (-1); 3 - 1) = (1; 2)$

Скалярное произведение:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 3 - 2 = 1$

Длины векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Вычислим косинус угла C:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$

Ответ: $\cos C = \frac{1}{5\sqrt{2}}$