Номер 2.56, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Пусть точки $A(2; 0; -3)$, $B(0; 3; 1)$, $C(-1; 1; 3)$ являются вершинами нижнего основания, а точка $A_1(5; 2; 4)$ – вершина верхнего основания параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите:

1) координаты других вершин параллелепипеда;

2) уравнения плоскостей, проходящих через его основания;

3) высоту параллелепипеда (расстояние между его основаниями).

1) координаты других вершин параллелепипеда

Даны вершины нижнего основания $A(2; 0; -3)$, $B(0; 3; 1)$, $C(-1; 1; 3)$ и вершина верхнего основания $A_1(5; 2; 4)$.В основании параллелепипеда лежит параллелограмм $ABCD$. Для параллелограмма выполняется векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Из этого следует, что координаты точки $D$ можно найти по правилу $D = A + \vec{BC}$.Найдем вектор $\vec{BC}$:$\vec{BC} = C - B = (-1 - 0; 1 - 3; 3 - 1) = (-1; -2; 2)$.Теперь найдем координаты точки $D$:$D = A + \vec{BC} = (2; 0; -3) + (-1; -2; 2) = (1; -2; -1)$.

Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Найдем вектор смещения $\vec{AA_1}$:$\vec{AA_1} = A_1 - A = (5-2; 2-0; 4-(-3)) = (3; 2; 7)$.Координаты остальных вершин верхнего основания $B_1, C_1, D_1$ находим, прибавляя вектор $\vec{AA_1}$ к соответствующим вершинам нижнего основания:$B_1 = B + \vec{AA_1} = (0; 3; 1) + (3; 2; 7) = (3; 5; 8)$.$C_1 = C + \vec{AA_1} = (-1; 1; 3) + (3; 2; 7) = (2; 3; 10)$.$D_1 = D + \vec{AA_1} = (1; -2; -1) + (3; 2; 7) = (4; 0; 6)$.

Ответ: $D(1; -2; -1)$, $B_1(3; 5; 8)$, $C_1(2; 3; 10)$, $D_1(4; 0; 6)$.

2) уравнения плоскостей, проходящих через его основания

Уравнение плоскости нижнего основания $ABCD$ можно найти, зная три его точки: $A(2; 0; -3)$, $B(0; 3; 1)$ и $C(-1; 1; 3)$.Составим два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.$\vec{AB} = B - A = (0-2; 3-0; 1-(-3)) = (-2; 3; 4)$.$\vec{AC} = C - A = (-1-2; 1-0; 3-(-3)) = (-3; 1; 6)$.Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен этим векторам, найдем его как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 4 \\ -3 & 1 & 6 \end{vmatrix} = (18-4)\mathbf{i} - (-12-(-12))\mathbf{j} + (-2-(-9))\mathbf{k} = 14\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 7\mathbf{k} = (14; 0; 7)$.Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив на 7: $\vec{n}_{simp} = (2; 0; 1)$.Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(2; 0; -3)$ с вектором нормали $(2; 0; 1)$, имеет вид:$2(x-2) + 0(y-0) + 1(z+3) = 0$$2x - 4 + z + 3 = 0$$2x + z - 1 = 0$.Это уравнение плоскости нижнего основания.

Плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней, следовательно, имеет тот же вектор нормали $(2; 0; 1)$. Ее уравнение имеет вид $2x + z + D = 0$.Подставим координаты точки $A_1(5; 2; 4)$, чтобы найти $D$:$2(5) + 4 + D = 0 \Rightarrow 14 + D = 0 \Rightarrow D = -14$.Уравнение плоскости верхнего основания: $2x + z - 14 = 0$.

Ответ: $2x + z - 1 = 0$ (плоскость нижнего основания), $2x + z - 14 = 0$ (плоскость верхнего основания).

3) высоту параллелепипеда (расстояние между его основаниями)

Высота параллелепипеда $h$ — это расстояние между параллельными плоскостями его оснований $2x + z - 1 = 0$ и $2x + z - 14 = 0$.Расстояние между двумя параллельными плоскостями $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ вычисляется по формуле:$h = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.Подставим наши значения: $A=2$, $B=0$, $C=1$, $D_1=-1$, $D_2=-14$.$h = \frac{|-14 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-13|}{\sqrt{4+1}} = \frac{13}{\sqrt{5}}$.Рационализируя знаменатель, получаем: $h = \frac{13\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{13\sqrt{5}}{5}$.