Номер 2.57, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.57*. Прямые $l_1$ и $l_2$ – скрещивающиеся. Что нужно понимать под расстоянием между этими прямыми? Можно ли принимать в качестве этого расстояния кратчайшее из расстояний между точками этих прямых? Если да, то как его найти? Составьте алгоритм нахождения этого расстояния и обсудите его вместе с классом.

Докажите, что прямые $\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 2y + z = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x = 2, \\ y = 2 \end{cases}$ – скрещивающиеся, и найдите расстояние между ними.

Что нужно понимать под расстоянием между этими прямыми? Можно ли принимать в качестве этого расстояния кратчайшее из расстояний между точками этих прямых? Если да, то как его найти? Составьте алгоритм нахождения этого расстояния и обсудите его вместе с классом.

Под расстоянием между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$ понимают длину их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр – это отрезок, концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен обеим этим прямым.

Да, расстояние между скрещивающимися прямыми равно кратчайшему из расстояний между всевозможными парами точек, одна из которых принадлежит первой прямой, а другая – второй. Длина общего перпендикуляра как раз и является этим кратчайшим расстоянием.

Алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. Найти параметрические уравнения обеих прямых. Пусть прямая $l_1$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$, а прямая $l_2$ проходит через точку $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$.
2. Найти координаты вектора $\vec{M_1M_2}$, соединяющего точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.
3. Вычислить векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$. Этот вектор перпендикулярен обеим прямым.
4. Вычислить смешанное произведение векторов $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ и $\vec{M_1M_2}$, взятое по модулю. Геометрически это объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Смешанное произведение можно вычислить как скалярное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{M_1M_2}$.
5. Вычислить модуль векторного произведения $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$. Геометрически это площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$.
6. Расстояние $d$ между прямыми находится как отношение модуля смешанного произведения к модулю векторного произведения: $d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$. Эта формула дает высоту параллелепипеда, опущенную на основание, построенное на векторах $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, что и является искомым расстоянием.

Ответ: Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра, что эквивалентно кратчайшему расстоянию между точками этих прямых. Алгоритм его нахождения основан на вычислении высоты параллелепипеда, построенного на направляющих векторах прямых и векторе, соединяющем точки на этих прямых, по формуле $d = \frac{|\text{смешанное произведение}(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{M_1M_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$.

Докажите, что прямые $\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 2y + z = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x = 2, \\ y = 2 \end{cases}$ — скрещивающиеся

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, то есть не параллельны и не пересекаются.

1. Найдем параметрические уравнения прямых.

Для первой прямой $l_1: \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$. Примем $y = t$ в качестве параметра. Тогда из первого уравнения получаем $x = -2y = -2t$, а из второго $z = -2y = -2t$. Параметрические уравнения прямой $l_1$: $\begin{cases} x = -2t \\ y = t \\ z = -2t \end{cases}$. Точка на прямой $M_1(0, 0, 0)$ (при $t=0$). Направляющий вектор $\vec{v_1} = (-2, 1, -2)$.

Для второй прямой $l_2: \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$. Координаты $x$ и $y$ фиксированы, а $z$ может быть любым. Примем $z=s$ в качестве параметра. Параметрические уравнения прямой $l_2$: $\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \\ z = s \end{cases}$. Точка на прямой $M_2(2, 2, 0)$ (при $s=0$). Направляющий вектор $\vec{v_2} = (0, 0, 1)$.

2. Проверим, параллельны ли прямые. Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны (пропорциональны). Сравним векторы $\vec{v_1} = (-2, 1, -2)$ и $\vec{v_2} = (0, 0, 1)$. Отношения их координат: $\frac{-2}{0}, \frac{1}{0}, \frac{-2}{1}$. Так как деление на ноль невозможно, векторы не являются пропорциональными. Следовательно, прямые не параллельны.

3. Проверим, пересекаются ли прямые. Прямые пересекаются, если существует такая пара параметров $(t, s)$, при которой координаты точек на прямых совпадают: $\begin{cases} -2t = 2 \\ t = 2 \\ -2t = s \end{cases}$. Из первого уравнения системы следует, что $t = -1$. Из второго уравнения системы следует, что $t = 2$. Получили противоречие: $-1 \neq 2$. Это означает, что система не имеет решений, и, следовательно, прямые не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые не параллельны, так как их направляющие векторы $\vec{v_1} = (-2, 1, -2)$ и $\vec{v_2} = (0, 0, 1)$ не коллинеарны, и не пересекаются, так как система уравнений для нахождения общей точки не имеет решений. Следовательно, прямые скрещивающиеся.

и найдите расстояние между ними.

Для нахождения расстояния $d$ между скрещивающимися прямыми воспользуемся формулой: $d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ где $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — направляющие векторы прямых, а $\vec{M_1M_2}$ — вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Из предыдущего пункта мы имеем:

• Направляющий вектор $l_1$: $\vec{v_1} = (-2, 1, -2)$
• Направляющий вектор $l_2$: $\vec{v_2} = (0, 0, 1)$
• Точка на $l_1$: $M_1(0, 0, 0)$
• Точка на $l_2$: $M_2(2, 2, 0)$

1. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$: $\vec{M_1M_2} = (2-0, 2-0, 0-0) = (2, 2, 0)$.

2. Найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) - \vec{j}((-2) \cdot 1 - (-2) \cdot 0) + \vec{k}((-2) \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 1\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} = (1, 2, 0)$.

3. Найдем модуль векторного произведения $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

4. Найдем смешанное произведение $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{M_1M_2})$. Его можно вычислить как скалярное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{M_1M_2}$: $(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{M_1M_2} = (1, 2, 0) \cdot (2, 2, 0) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 2 + 4 = 6$. Модуль смешанного произведения равен $|6|=6$.

5. Вычислим расстояние $d$: $d = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: Расстояние между прямыми равно $\frac{6\sqrt{5}}{5}$.