Номер 2.53, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Как можно найти расстояние между параллельными плоскостями? В паре обсудите и напишите алгоритм нахождения этого расстояния, результаты обсудите вместе с классом. Найдите расстояние между следующими параллельными плоскостями:

1) $2x - y + 3z - 5 = 0$ и $2x - y + 3z + 7 = 0$;

2) $x + y - 3z + 4 = 0$ и $2x + 2y - 6z - 9 = 0$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной плоскости к другой. Существует алгоритм для его нахождения.

Пусть даны две параллельные плоскости, заданные общими уравнениями:

$\pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$

$\pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Алгоритм нахождения расстояния:

1. Убедиться, что нормальные векторы плоскостей $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны, что является условием параллельности плоскостей.
2. Привести уравнения к виду, в котором коэффициенты при $x, y, z$ совпадают. Если $\vec{n_2} = k \cdot \vec{n_1}$, нужно разделить второе уравнение на $k$. В результате получим два уравнения в виде:

   $Ax + By + Cz + D'_1 = 0$

   $Ax + By + Cz + D'_2 = 0$

3. Вычислить расстояние $d$ по формуле:

   $d = \frac{|D'_2 - D'_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Другой способ — найти координаты любой точки на одной из плоскостей и затем использовать формулу расстояния от этой точки до второй плоскости.

1) Даны плоскости $2x - y + 3z - 5 = 0$ и $2x - y + 3z + 7 = 0$.

Нормальные векторы обеих плоскостей совпадают: $\vec{n} = (2, -1, 3)$. Следовательно, плоскости параллельны.

Уравнения уже приведены к нужному виду. Коэффициенты: $A=2, B=-1, C=3, D_1=-5, D_2=7$.

Воспользуемся формулой расстояния между параллельными плоскостями:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|12|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{14}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{12\sqrt{14}}{14} = \frac{6\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $d = \frac{12}{\sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{14}}{7}$.

2) Даны плоскости $x + y - 3z + 4 = 0$ и $2x + 2y - 6z - 9 = 0$.

Нормальный вектор первой плоскости $\vec{n_1} = (1, 1, -3)$.

Нормальный вектор второй плоскости $\vec{n_2} = (2, 2, -6)$.

Поскольку $\vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$, векторы коллинеарны, и плоскости параллельны.

Приведем второе уравнение к виду, где коэффициенты при переменных совпадают с первым уравнением. Для этого разделим второе уравнение на 2:

$\frac{2x + 2y - 6z - 9}{2} = 0 \Rightarrow x + y - 3z - \frac{9}{2} = 0$.

Теперь у нас есть две плоскости: $x + y - 3z + 4 = 0$ и $x + y - 3z - 4.5 = 0$.

Коэффициенты: $A=1, B=1, C=-3, D_1=4, D_2=-4.5$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|-4.5 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-8.5|}{\sqrt{1 + 1 + 9}} = \frac{8.5}{\sqrt{11}}$

Представим $8.5$ как $\frac{17}{2}$ и избавимся от иррациональности:

$d = \frac{17}{2\sqrt{11}} = \frac{17\sqrt{11}}{22}$

Ответ: $d = \frac{8.5}{\sqrt{11}} = \frac{17\sqrt{11}}{22}$.