Номер 2.54, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.54. Параллельные плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ заданы уравнениями $ax + by + cz + d_1 = 0$ и $ax + by + cz + d_2 = 0$ соответственно. Докажем, что расстояние между данными плоскостями определяется формулой

Для доказательства формулы найдем расстояние от произвольной точки, принадлежащей одной из плоскостей, до другой плоскости. Так как плоскости параллельны, это расстояние будет одинаковым для любой выбранной точки.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$, заданные уравнениями:

$\alpha_1: ax + by + cz + d_1 = 0$

$\alpha_2: ax + by + cz + d_2 = 0$

Нормальный вектор для обеих плоскостей одинаков и равен $\vec{n} = (a, b, c)$.

Возьмем произвольную точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащую на плоскости $\alpha_1$. Ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости:

$ax_0 + by_0 + cz_0 + d_1 = 0$

Отсюда можно выразить:

$ax_0 + by_0 + cz_0 = -d_1$

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $\alpha_2$ вычисляется по формуле расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае для плоскости $\alpha_2$ коэффициенты $A=a, B=b, C=c, D=d_2$. Подставляем их и координаты точки $M_0$ в формулу:

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Теперь заменим выражение $ax_0 + by_0 + cz_0$ на $-d_1$, как мы установили ранее:

$d = \frac{|(-d_1) + d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Упростив выражение в числителе, получаем искомую формулу:

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказательство приведено. Формула для расстояния: $d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.