Номер 2.60, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Дан равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен 120°. Диаметр окружности, описанной около данного треугольника равен 18 см. Найдите боковые стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а угол при вершине $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при его основании равны: $\angle A = \angle C$.

Найдем величину углов при основании:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2\angle A + 120^\circ = 180^\circ$

$2\angle A = 180^\circ - 120^\circ$

$2\angle A = 60^\circ$

$\angle A = \angle C = 30^\circ$

По условию, диаметр $D$ окружности, описанной около треугольника, равен 18 см. Радиус этой окружности $R$ будет равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Для нахождения стороны треугольника воспользуемся следствием из теоремы синусов (обобщенной теоремой синусов), которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

Мы ищем длину боковой стороны. Возьмем сторону $BC$, длина которой равна $a$, и противолежащий ей угол $\angle A = 30^\circ$. Выразим из формулы сторону $a$:

$a = 2R \cdot \sin A$

Подставим известные нам значения $R = 9$ см и $\angle A = 30^\circ$:

$a = 2 \cdot 9 \cdot \sin 30^\circ$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$a = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Так как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны, то есть $AB = BC = 9$ см.

Ответ: 9 см.