Номер 2.61, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.61. Найдите угол между прямыми:

1) $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ и $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5;$

2) $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$ и $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t.$

1) Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Сначала найдем направляющие векторы для каждой из заданных прямых.

Первая прямая задана каноническим уравнением $ \frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3} $. Координаты ее направляющего вектора $\vec{s_1}$ находятся в знаменателях дробей, следовательно, $\vec{s_1} = (8, 2, 3)$.

Вторая прямая задана параметрическими уравнениями $ x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5 $. Координаты ее направляющего вектора $\vec{s_2}$ равны коэффициентам при параметре $t$, то есть $\vec{s_2} = (-1, 2, 3)$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми вычисляется по формуле косинуса угла между их направляющими векторами:

$ \cos\phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|} $

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$ \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 8 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -8 + 4 + 9 = 5 $.

Теперь найдем модули (длины) каждого вектора:

$ |\vec{s_1}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 4 + 9} = \sqrt{77} $.

$ |\vec{s_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$ \cos\phi = \frac{5}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{1078}} = \frac{5}{\sqrt{49 \cdot 22}} = \frac{5}{7\sqrt{22}} $.

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$ \phi = \arccos\left(\frac{5}{7\sqrt{22}}\right) $.

Ответ: $ \phi = \arccos\left(\frac{5}{7\sqrt{22}}\right) $.

2) Действуем аналогично первому пункту. Найдем направляющие векторы для второй пары прямых.

Первая прямая задана уравнением $ \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3} $. Ее направляющий вектор $\vec{s_1} = (2, 4, 3)$.

Вторая прямая задана уравнениями $ x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t $. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = (5, 1, 4)$.

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$ \cos\phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|} $

Вычислим скалярное произведение векторов:

$ \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 10 + 4 + 12 = 26 $.

Вычислим модули векторов:

$ |\vec{s_1}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} $.

$ |\vec{s_2}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42} $.

Подставим найденные значения в формулу:

$ \cos\phi = \frac{26}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{42}} = \frac{26}{\sqrt{1218}} $.

Таким образом, угол $\phi$ равен:

$ \phi = \arccos\left(\frac{26}{\sqrt{1218}}\right) $.

Ответ: $ \phi = \arccos\left(\frac{26}{\sqrt{1218}}\right) $.