Номер 2.64, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64. Найдите угол между прямой и плоскостью:

1) $\frac{x+3}{-1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+5}{5}$ и $x + 2y + 3z + 6 = 0$;

2) $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5$ и $2x + y - 2z - 6 = 0$;

3) $\frac{x-1}{-4} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{1}$ и $x - 5y - 2z + 4 = 0$;

4) $x = 2 - 3t, y = 4 - t, z = -1 + 4t$ и $x + y - 2z - 1 = 0$.

1) Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется по формуле: $\sin(\phi) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$, где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Для прямой $\frac{x+3}{-1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+5}{5}$ направляющий вектор $\vec{s} = (-1, 2, 5)$.

Для плоскости $x + 2y + 3z + 6 = 0$ вектор нормали $\vec{n} = (1, 2, 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = -1 + 4 + 15 = 18$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь найдем синус угла между прямой и плоскостью:

$\sin(\phi) = \frac{|18|}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{14}} = \frac{18}{\sqrt{420}} = \frac{18}{\sqrt{4 \cdot 105}} = \frac{18}{2\sqrt{105}} = \frac{9}{\sqrt{105}}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \arcsin\left(\frac{9}{\sqrt{105}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{9}{\sqrt{105}}\right)$.

2) Угол $\phi$ между прямой и плоскостью находится по формуле $\sin(\phi) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$, где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Для прямой, заданной параметрически $x=2-t, y=15+2t, z=3t-5$, направляющий вектор $\vec{s}$ имеет координаты, равные коэффициентам при параметре $t$. Таким образом, $\vec{s} = (-1, 2, 3)$.

Для плоскости $2x+y-2z-6=0$ вектор нормали $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = -2 + 2 - 6 = -6$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем синус искомого угла:

$\sin(\phi) = \frac{|-6|}{\sqrt{14} \cdot 3} = \frac{6}{3\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$.

Искомый угол $\phi = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)$.

3) Для нахождения угла $\phi$ между прямой и плоскостью воспользуемся формулой $\sin(\phi) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$.

Из канонического уравнения прямой $\frac{x-1}{-4} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-2}{1}$ находим ее направляющий вектор $\vec{s} = (-4, 4, 1)$.

Из уравнения плоскости $x - 5y - 2z + 4 = 0$ находим ее вектор нормали $\vec{n} = (1, -5, -2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-4) \cdot 1 + 4 \cdot (-5) + 1 \cdot (-2) = -4 - 20 - 2 = -26$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 16 + 1} = \sqrt{33}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$.

Подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin(\phi) = \frac{|-26|}{\sqrt{33} \cdot \sqrt{30}} = \frac{26}{\sqrt{990}}$.

Угол $\phi$ равен $\arcsin\left(\frac{26}{\sqrt{990}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{26}{\sqrt{990}}\right)$.

4) Угол $\phi$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле $\sin(\phi) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}$, где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Направляющий вектор прямой $x=2-3t, y=4-t, z=-1+4t$ — это вектор с координатами, равными коэффициентам при $t$: $\vec{s} = (-3, -1, 4)$.

Вектор нормали плоскости $x+y-2z-1=0$ — это вектор с коэффициентами при $x, y, z$: $\vec{n} = (1, 1, -2)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-3) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = -3 - 1 - 8 = -12$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.

Теперь можем найти синус угла:

$\sin(\phi) = \frac{|-12|}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12}{\sqrt{156}} = \frac{12}{\sqrt{4 \cdot 39}} = \frac{12}{2\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{39}}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{6}{\sqrt{39}}\right)$.