Номер 2.63, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.63. Найдите угол между прямыми:

1) $\frac{x-3}{5} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-5}{3}$ и $\frac{x+3}{-2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-5}{3}$;

2) $\frac{x-3}{3} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-5}{1}$ и $x = 2 - 2t, y = 1 + 3t, z = 3t - 2$;

3) $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$ и $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$;

4) $x = 5t, y = 4 + 2t, z = 1 - 4t$ и $x = 2 - t, y = 1 + 3t, z = 3t - 1$.

1) Угол $φ$ между двумя прямыми в пространстве находится как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле: $cos(φ) = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Первая прямая задана каноническим уравнением $\frac{x-3}{5}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{3}$. Ее направляющий вектор $\vec{d_1} = (5; -2; 3)$.

Вторая прямая задана каноническим уравнением $\frac{x+3}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{3}$. Ее направляющий вектор $\vec{d_2} = (-2; 2; 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 5 \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -10 - 4 + 9 = -5$.

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{d_1}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38}$.

$|\vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.

Теперь найдем косинус угла между прямыми:

$cos(φ) = \frac{|-5|}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{38 \cdot 17}} = \frac{5}{\sqrt{646}}$.

Следовательно, угол $φ$ равен $arccos\left(\frac{5}{\sqrt{646}}\right)$.

Ответ: $φ = arccos\left(\frac{5}{\sqrt{646}}\right)$.

2) Для нахождения угла между прямыми воспользуемся формулой, связывающей косинус угла с направляющими векторами прямых: $cos(φ) = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Первая прямая задана каноническим уравнением $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-5}{1}$. Ее направляющий вектор $\vec{d_1} = (3; -4; 1)$.

Вторая прямая задана параметрическими уравнениями $x = 2 - 2t, y = 1 + 3t, z = 3t - 2$. Ее направляющий вектор $\vec{d_2}$ определяется коэффициентами при параметре $t$: $\vec{d_2} = (-2; 3; 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot 3 + 1 \cdot 3 = -6 - 12 + 3 = -15$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.

$|\vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$.

Вычислим косинус угла:

$cos(φ) = \frac{|-15|}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{22}} = \frac{15}{\sqrt{572}} = \frac{15}{\sqrt{4 \cdot 143}} = \frac{15}{2\sqrt{143}}$.

Следовательно, угол $φ$ равен $arccos\left(\frac{15}{2\sqrt{143}}\right)$.

Ответ: $φ = arccos\left(\frac{15}{2\sqrt{143}}\right)$.

3) Угол между прямыми определяется через их направляющие векторы по формуле: $cos(φ) = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Первая прямая задана параметрическими уравнениями $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$. Ее направляющий вектор $\vec{d_1} = (5; 1; 4)$.

Вторая прямая задана каноническим уравнением $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}$. Ее направляющий вектор $\vec{d_2} = (2; 4; 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 5 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 10 + 4 + 12 = 26$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{d_1}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$.

$|\vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.

Вычислим косинус угла:

$cos(φ) = \frac{|26|}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{29}} = \frac{26}{\sqrt{1218}}$.

Следовательно, угол $φ$ равен $arccos\left(\frac{26}{\sqrt{1218}}\right)$.

Ответ: $φ = arccos\left(\frac{26}{\sqrt{1218}}\right)$.

4) Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными параметрически, найдем их направляющие векторы и воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами: $cos(φ) = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Первая прямая задана уравнениями $x = 5t, y = 4 + 2t, z = 1 - 4t$. Ее направляющий вектор $\vec{d_1} = (5; 2; -4)$.

Вторая прямая задана уравнениями $x = 2 - t, y = 1 + 3t, z = 3t - 1$. Ее направляющий вектор $\vec{d_2} = (-1; 3; 3)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 5 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 3 = -5 + 6 - 12 = -11$.

Найдем модули векторов:

$|\vec{d_1}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

$|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$.

Вычислим косинус угла:

$cos(φ) = \frac{|-11|}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{19}} = \frac{11}{3\sqrt{95}}$.

Следовательно, угол $φ$ равен $arccos\left(\frac{11}{3\sqrt{95}}\right)$.

Ответ: $φ = arccos\left(\frac{11}{3\sqrt{95}}\right)$.