Номер 2.59, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. Сторона ромба с диагоналями образует углы, которые относятся как 4:5. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть образуют угол $90^\circ$ в точке пересечения. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенузой является сторона ромба, а катетами — половины диагоналей. Углы, которые образует сторона ромба с диагоналями, являются острыми углами этого прямоугольного треугольника.

По условию задачи, эти углы относятся как 4:5. Обозначим их величины как $4x$ и $5x$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Исходя из этого, можем составить уравнение:

$4x + 5x = 90^\circ$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9}$

$x = 10^\circ$

Теперь мы можем найти величины этих острых углов:

Первый угол: $4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$

Второй угол: $5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его вершинных углов, каждый угол ромба в два раза больше одного из найденных углов.

Один из углов ромба равен: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Смежный с ним угол ромба равен: $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому два других угла также равны $80^\circ$ и $100^\circ$. Таким образом, углы ромба — это два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ$, $100^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$.