Номер 2.46, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.46. Найдите расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до плоскости:

1) $3x - y - 3z - 3 = 0$;

2) $2x + y + 3z - 7 = 0$;

3) $2x - y + 3z + 9 = 0$;

4) $3x - 4y + 8 = 0$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данной задаче задана точка $A(1; 2; 3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 3$. Подставим эти координаты и коэффициенты из уравнений плоскостей в формулу.

1) Для плоскости $3x - y - 3z - 3 = 0$ коэффициенты равны: $A=3$, $B=-1$, $C=-3$, $D=-3$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{|3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 - 3|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \frac{|3 - 2 - 9 - 3|}{\sqrt{9 + 1 + 9}} = \frac{|-11|}{\sqrt{19}} = \frac{11}{\sqrt{19}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{11\sqrt{19}}{19}$

Ответ: $d = \frac{11\sqrt{19}}{19}$.

2) Для плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0$ коэффициенты равны: $A=2$, $B=1$, $C=3$, $D=-7$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 7|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{|2 + 2 + 9 - 7|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|6|}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе и сократив дробь, получаем:

$d = \frac{6\sqrt{14}}{14} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $d = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.

3) Для плоскости $2x - y + 3z + 9 = 0$ коэффициенты равны: $A=2$, $B=-1$, $C=3$, $D=9$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|2 - 2 + 9 + 9|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|18|}{\sqrt{14}} = \frac{18}{\sqrt{14}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе и сократив дробь, получаем:

$d = \frac{18\sqrt{14}}{14} = \frac{9\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $d = \frac{9\sqrt{14}}{7}$.

4) Для плоскости $3x - 4y + 8 = 0$ коэффициенты равны: $A=3$, $B=-4$, $C=0$, $D=8$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2}} = \frac{|3 - 8 + 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|3|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $d = \frac{3}{5}$.