Номер 2.41, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.41. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1; 2; 4)$ и линию пересечения плоскостей $2x - y + 3z - 6 = 0$, $x + 2y - z + 3 = 0$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и линию пересечения двух других плоскостей, удобно использовать метод пучка плоскостей. Уравнение любой плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$, можно записать в виде:

$(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0$, где $\lambda$ — параметр.

В нашем случае даны плоскости:

$2x - y + 3z - 6 = 0$

$x + 2y - z + 3 = 0$

Составим уравнение пучка плоскостей:

$(2x - y + 3z - 6) + \lambda(x + 2y - z + 3) = 0$

По условию, искомая плоскость проходит через точку $A(1; 2; 4)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению нашей плоскости. Подставим $x=1, y=2, z=4$ в уравнение пучка, чтобы найти значение $\lambda$:

$(2 \cdot 1 - 2 + 3 \cdot 4 - 6) + \lambda(1 + 2 \cdot 2 - 4 + 3) = 0$

Выполним вычисления в скобках:

$(2 - 2 + 12 - 6) + \lambda(1 + 4 - 4 + 3) = 0$

$6 + 4\lambda = 0$

Решим полученное уравнение относительно $\lambda$:

$4\lambda = -6$

$\lambda = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $\lambda = -3/2$ обратно в уравнение пучка:

$(2x - y + 3z - 6) - \frac{3}{2}(x + 2y - z + 3) = 0$

Для упрощения умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2(2x - y + 3z - 6) - 3(x + 2y - z + 3) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 2y + 6z - 12 - 3x - 6y + 3z - 9 = 0$

$(4x - 3x) + (-2y - 6y) + (6z + 3z) + (-12 - 9) = 0$

$x - 8y + 9z - 21 = 0$

Это и есть уравнение искомой плоскости.

Ответ: $x - 8y + 9z - 21 = 0$.