Номер 2.37, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Напишите уравнение плоскости, проходящей через пря-мую $x = -1 + 2t$, $y = 3 + 4t$, $z = 3t$ перпендикулярно плоскости $2x + 3y - z + 1 = 0$.

Решение

Для того чтобы составить уравнение плоскости, нам необходимо знать одну точку, принадлежащую этой плоскости, и вектор нормали к ней. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$ — это вектор нормали.

1. Найдем точку на плоскости и один из векторов, параллельных плоскости. Искомая плоскость проходит через прямую, заданную параметрическими уравнениями: $x = -1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t$. Следовательно, любая точка этой прямой лежит в нашей плоскости. Чтобы найти такую точку, можно взять любое значение параметра $t$. При $t = 0$ получаем точку $M_0(-1, 3, 0)$. Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $t$, то есть $\vec{s} = (2, 4, 3)$. Так как вся прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор $\vec{s}$ параллелен этой плоскости.

2. Найдем второй вектор, параллельный плоскости. Искомая плоскость перпендикулярна плоскости $2x + 3y - z + 1 = 0$. Вектор нормали к этой плоскости равен $\vec{n_1} = (2, 3, -1)$. Поскольку искомая плоскость и данная плоскость перпендикулярны, вектор нормали $\vec{n_1}$ данной плоскости будет параллелен искомой плоскости.

3. Найдем вектор нормали искомой плоскости. Вектор нормали искомой плоскости $\vec{n}$ должен быть перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости (или параллельным ей). Мы нашли два таких вектора: $\vec{s} = (2, 4, 3)$ и $\vec{n_1} = (2, 3, -1)$. Вектор $\vec{n}$ можно найти как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{s} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$ $\vec{n} = \vec{i}(4 \cdot (-1) - 3 \cdot 3) - \vec{j}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 3 - 4 \cdot 2)$ $\vec{n} = \vec{i}(-4 - 9) - \vec{j}(-2 - 6) + \vec{k}(6 - 8)$ $\vec{n} = -13\vec{i} + 8\vec{j} - 2\vec{k}$ Таким образом, вектор нормали искомой плоскости $\vec{n} = (-13, 8, -2)$.

4. Составим уравнение плоскости. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A, B, C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ Подставляем координаты точки $M_0(-1, 3, 0)$ и вектора нормали $\vec{n} = (-13, 8, -2)$: $-13(x - (-1)) + 8(y - 3) - 2(z - 0) = 0$ $-13(x + 1) + 8(y - 3) - 2z = 0$ $-13x - 13 + 8y - 24 - 2z = 0$ $-13x + 8y - 2z - 37 = 0$ Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ был положительным: $13x - 8y + 2z + 37 = 0$

Ответ: $13x - 8y + 2z + 37 = 0$