Работа в группе, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Выполните следующее задание.

Прямые $l_1$ и $l_2$ заданы уравнениями, указанными в таблице.

1) Найдите направляющий вектор $\vec{p}_1$ прямой $l_1$ и координаты точки $M_1$, принадлежащей этой прямой.

2) Найдите направляющий вектор $\vec{p}_2$ прямой $l_2$ и координаты точки $M_2$, принадлежащей этой прямой.

3) Сравните координаты векторов $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ и $\vec{M_1M_2}$.

4) В случае, когда $\vec{p}_1 \not\parallel \vec{p}_2$, по формуле (5) (п.2.1.2) найдите координаты вектора $\vec{n}$, удовлетворяющего условиям $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$.

5) Напишите уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M_1$ перпендикулярно вектору $\vec{n}$.

Уравнение прямой $l_1$ | Уравнение прямой $l_2$

$\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ | $\frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{3}$

$\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ | $x=5-t, y=5+2t, z=2+3t$

$\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ | $\frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2}$

$x=6+t, y=3-2t, z=-1-3t$ | $x=5-t, y=5+2t, z=2+3t$

Решение для первой строки таблицы:

Даны прямые $l_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ и $l_2: \frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{3}$.

1) Уравнение прямой $l_1$ задано в каноническом виде $\frac{x-x_1}{p_{1x}} = \frac{y-y_1}{p_{1y}} = \frac{z-z_1}{p_{1z}}$. Отсюда, направляющий вектор $\vec{p_1}$ имеет координаты, стоящие в знаменателях, а точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ — координаты из числителей с противоположным знаком. Таким образом, $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$ и $M_1(1, -1, 0)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$, координаты точки $M_1(1, -1, 0)$.

2) Аналогично для прямой $l_2$, заданной уравнением $\frac{x-x_2}{p_{2x}} = \frac{y-y_2}{p_{2y}} = \frac{z-z_2}{p_{2z}}$, находим направляющий вектор $\vec{p_2}=(4, -2, 3)$ и точку $M_2(-2, 2, 3)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_2}=(4, -2, 3)$, координаты точки $M_2(-2, 2, 3)$.

3) Сравним координаты векторов $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$ и $\vec{p_2}=(4, -2, 3)$. Проверим их на коллинеарность (параллельность): $\frac{2}{4} \ne \frac{3}{-2}$. Так как отношения координат не равны, векторы не коллинеарны, то есть $\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-2-1, 2-(-1), 3-0) = (-3, 3, 3)$.

Ответ: Координаты векторов: $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$, $\vec{p_2}=(4, -2, 3)$, $\vec{M_1M_2}=(-3, 3, 3)$. Векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ не параллельны.

4) Так как $\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$, мы можем найти вектор $\vec{n}$, перпендикулярный обоим этим векторам, вычислив их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{p_1} \times \vec{p_2}$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 3 - 1 \cdot (-2)) - \vec{j}(2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + \vec{k}(2 \cdot (-2) - 3 \cdot 4) = \vec{i}(9+2) - \vec{j}(6-4) + \vec{k}(-4-12) = 11\vec{i} - 2\vec{j} - 16\vec{k}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{n}=(11, -2, -16)$.

5) Уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M_1(1, -1, 0)$ перпендикулярно вектору нормали $\vec{n}=(11, -2, -16)$, имеет вид $A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$.

$11(x-1) - 2(y-(-1)) - 16(z-0) = 0$

$11x - 11 - 2(y+1) - 16z = 0$

$11x - 11 - 2y - 2 - 16z = 0$

$11x - 2y - 16z - 13 = 0$

Ответ: Уравнение плоскости $\alpha$: $11x - 2y - 16z - 13 = 0$.

Решение для второй строки таблицы:

Даны прямые $l_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ и $l_2: x=5-t, y=5+2t, z=2+3t$.

1) Для прямой $l_1$ (каноническое уравнение) направляющий вектор $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$ и точка $M_1(1, -1, 0)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$, координаты точки $M_1(1, -1, 0)$.

2) Прямая $l_2$ задана параметрическими уравнениями $x=x_2+p_{2x}t, y=y_2+p_{2y}t, z=z_2+p_{2z}t$. Отсюда, направляющий вектор $\vec{p_2}$ имеет координаты при параметре $t$, а точка $M_2$ — свободные члены. Таким образом, $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$ и $M_2(5, 5, 2)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$, координаты точки $M_2(5, 5, 2)$.

3) Сравним координаты векторов $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$ и $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$. Проверим их на коллинеарность: $\frac{2}{-1} \ne \frac{3}{2}$. Векторы не коллинеарны, $\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = (5-1, 5-(-1), 2-0) = (4, 6, 2)$.

Ответ: Координаты векторов: $\vec{p_1}=(2, 3, 1)$, $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$, $\vec{M_1M_2}=(4, 6, 2)$. Векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ не параллельны.

4) Так как $\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$, найдем вектор $\vec{n}$ через векторное произведение: $\vec{n} = \vec{p_1} \times \vec{p_2}$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) = \vec{i}(9-2) - \vec{j}(6+1) + \vec{k}(4+3) = 7\vec{i} - 7\vec{j} + 7\vec{k}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{n}=(7, -7, 7)$.

5) Уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M_1(1, -1, 0)$ перпендикулярно вектору $\vec{n}=(7, -7, 7)$.

$7(x-1) - 7(y-(-1)) + 7(z-0) = 0$

Разделим обе части на 7:

$(x-1) - (y+1) + z = 0$

$x - 1 - y - 1 + z = 0$

$x - y + z - 2 = 0$

Ответ: Уравнение плоскости $\alpha$: $x - y + z - 2 = 0$.

Решение для третьей строки таблицы:

Даны прямые $l_1: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ и $l_2: \frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2}$.

1) Для прямой $l_1$ направляющий вектор $\vec{p_1}=(-2, 3, 1)$ и точка $M_1(1, -1, 0)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_1}=(-2, 3, 1)$, координаты точки $M_1(1, -1, 0)$.

2) Для прямой $l_2$ направляющий вектор $\vec{p_2}=(4, -6, -2)$ и точка $M_2(-1, 3, 2)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_2}=(4, -6, -2)$, координаты точки $M_2(-1, 3, 2)$.

3) Сравним координаты векторов $\vec{p_1}=(-2, 3, 1)$ и $\vec{p_2}=(4, -6, -2)$. Проверим их на коллинеарность:

$\frac{4}{-2} = -2$, $\frac{-6}{3} = -2$, $\frac{-2}{1} = -2$.

Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны (параллельны), $\vec{p_1} \parallel \vec{p_2}$. В частности, $\vec{p_2} = -2\vec{p_1}$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = (-1-1, 3-(-1), 2-0) = (-2, 4, 2)$.

Ответ: Координаты векторов: $\vec{p_1}=(-2, 3, 1)$, $\vec{p_2}=(4, -6, -2)$, $\vec{M_1M_2}=(-2, 4, 2)$. Векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ параллельны.

4) Условие для выполнения этого пункта ($\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$) не выполняется, так как векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ параллельны. Следовательно, найти вектор $\vec{n}$ по указанной методике (как векторное произведение) невозможно.

Ответ: Задание невыполнимо для данных прямых, так как их направляющие векторы параллельны.

5) Так как вектор $\vec{n}$ не был определен в пункте 4, написать уравнение плоскости, перпендикулярной ему, невозможно.

Ответ: Задание невыполнимо.

Решение для четвертой строки таблицы:

Даны прямые $l_1: x=6+t, y=3-2t, z=-1-3t$ и $l_2: x=5-t, y=5+2t, z=2+3t$.

1) Прямая $l_1$ задана параметрически. Направляющий вектор $\vec{p_1}=(1, -2, -3)$, точка $M_1(6, 3, -1)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_1}=(1, -2, -3)$, координаты точки $M_1(6, 3, -1)$.

2) Прямая $l_2$ также задана параметрически. Направляющий вектор $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$, точка $M_2(5, 5, 2)$.

Ответ: Направляющий вектор $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$, координаты точки $M_2(5, 5, 2)$.

3) Сравним координаты векторов $\vec{p_1}=(1, -2, -3)$ и $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$. Проверим их на коллинеарность:

$\frac{-1}{1} = -1$, $\frac{2}{-2} = -1$, $\frac{3}{-3} = -1$.

Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны (параллельны), $\vec{p_1} \parallel \vec{p_2}$. В частности, $\vec{p_2} = -1 \cdot \vec{p_1}$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = (5-6, 5-3, 2-(-1)) = (-1, 2, 3)$.

Ответ: Координаты векторов: $\vec{p_1}=(1, -2, -3)$, $\vec{p_2}=(-1, 2, 3)$, $\vec{M_1M_2}=(-1, 2, 3)$. Векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ параллельны.

4) Условие для выполнения этого пункта ($\vec{p_1} \not\parallel \vec{p_2}$) не выполняется, так как векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ параллельны.

Ответ: Задание невыполнимо для данных прямых, так как их направляющие векторы параллельны.

5) Так как вектор $\vec{n}$ не был определен в пункте 4, написать уравнение плоскости, перпендикулярной ему, невозможно.

Ответ: Задание невыполнимо.