Номер 2.20, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Даны точки $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$. Напишите уравнение срединного перпендикуляра отрезка $M_1 M_2$.

Срединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Чтобы найти уравнение срединного перпендикуляра отрезка $M_1M_2$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Нахождение координат середины отрезка.

Найдем координаты точки $M(x_0; y_0)$, которая является серединой отрезка $M_1M_2$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов:

$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$:

$x_0 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_0 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина отрезка $M_1M_2$ — это точка $M(2; 3)$.

2. Нахождение углового коэффициента прямой $M_1M_2$.

Угловой коэффициент $k_1$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле:

$k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Для точек $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$ получаем:

$k_1 = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

3. Нахождение углового коэффициента срединного перпендикуляра.

Срединный перпендикуляр перпендикулярен прямой $M_1M_2$. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. Если $k_2$ — угловой коэффициент срединного перпендикуляра, то:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

$1 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = -1$

4. Составление уравнения срединного перпендикуляра.

Теперь у нас есть всё необходимое для составления уравнения искомой прямой: точка, через которую она проходит $M(2; 3)$, и её угловой коэффициент $k_2 = -1$. Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставим наши значения:

$y - 3 = -1 \cdot (x - 2)$

Раскроем скобки и приведём уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$:

$y - 3 = -x + 2$

$x + y - 3 - 2 = 0$

$x + y - 5 = 0$

Ответ: $x + y - 5 = 0$