Номер 2.21, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Какое условие должно выполняться, чтобы точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ принадлежала плоскости $ax + by + cz + d = 0$? Определите, какая из точек $A(-1; -1; 1)$, $B(0; 2; 3)$, $C(6; 1; 0)$, $D(3; -2; -4)$, $E(1; 3; 2)$ принадлежит и не принадлежит плоскости $x - 2y + 3z - 4 = 0$.

Условие принадлежности точки плоскости

Для того чтобы точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ принадлежала плоскости, заданной общим уравнением $ax + by + cz + d = 0$, необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению плоскости. Это означает, что при подстановке координат $x_0, y_0, z_0$ вместо переменных $x, y, z$ в уравнение плоскости, должно получиться верное числовое равенство.

Ответ: Должно выполняться условие $ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0$.

Определение принадлежности точек плоскости $x - 2y + 3z - 4 = 0$

Чтобы определить, какие из заданных точек принадлежат плоскости, подставим их координаты в уравнение плоскости $x - 2y + 3z - 4 = 0$ и проверим, обращается ли левая часть в ноль.

• Для точки A(-1; -1; 1):

  Подставляем $x = -1, y = -1, z = 1$:

  $(-1) - 2(-1) + 3(1) - 4 = -1 + 2 + 3 - 4 = 0$.

  Равенство $0 = 0$ выполняется, следовательно, точка A принадлежит плоскости.

• Для точки B(0; 2; 3):

  Подставляем $x = 0, y = 2, z = 3$:

  $(0) - 2(2) + 3(3) - 4 = 0 - 4 + 9 - 4 = 1$.

  Равенство $1 = 0$ не выполняется, следовательно, точка B не принадлежит плоскости.

• Для точки C(6; 1; 0):

  Подставляем $x = 6, y = 1, z = 0$:

  $(6) - 2(1) + 3(0) - 4 = 6 - 2 + 0 - 4 = 0$.

  Равенство $0 = 0$ выполняется, следовательно, точка C принадлежит плоскости.

• Для точки D(3; -2; -4):

  Подставляем $x = 3, y = -2, z = -4$:

  $(3) - 2(-2) + 3(-4) - 4 = 3 + 4 - 12 - 4 = -9$.

  Равенство $-9 = 0$ не выполняется, следовательно, точка D не принадлежит плоскости.

• Для точки E(1; 3; 2):

  Подставляем $x = 1, y = 3, z = 2$:

  $(1) - 2(3) + 3(2) - 4 = 1 - 6 + 6 - 4 = -3$.

  Равенство $-3 = 0$ не выполняется, следовательно, точка E не принадлежит плоскости.

Ответ: Плоскости принадлежат точки A(-1; -1; 1) и C(6; 1; 0). Плоскости не принадлежат точки B(0; 2; 3), D(3; -2; -4) и E(1; 3; 2).