Номер 2.9, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.9. С помощью формул (3) и (4) напишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

1) $M_1(1; 2; 3)$, $M_2(2; 1; 4)$, $M_3(-2; 0; 2)$;

2) $M_1(-3; 1; -2)$, $M_2(-2; 0; 3)$, $M_3(1; 1; -1)$;

3) $M_1(2; -1; 3)$, $M_2(0; 1; 4)$, $M_3(2; -2; 0)$;

4) $M_1(1; 2; -2)$, $M_2(3; 0; 4)$, $M_3(0; 3; -4)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, воспользуемся формулой, основанной на условии компланарности векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости:

$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Это уравнение означает, что смешанное произведение векторов равно нулю, что является условием их компланарности (принадлежности одной плоскости).

1) Даны точки $M_1(1; 2; 3)$, $M_2(2; 1; 4)$, $M_3(-2; 0; 2)$.

Найдем координаты векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$\vec{M_1M_2} = (2-1, 1-2, 4-3) = (1, -1, 1)$

$\vec{M_1M_3} = (-2-1, 0-2, 2-3) = (-3, -2, -1)$

Подставим координаты в определитель:

$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$(x-1)((-1)(-1) - 1(-2)) - (y-2)(1(-1) - 1(-3)) + (z-3)(1(-2) - (-1)(-3)) = 0$

$(x-1)(1 + 2) - (y-2)(-1 + 3) + (z-3)(-2 - 3) = 0$

$3(x-1) - 2(y-2) - 5(z-3) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x - 3 - 2y + 4 - 5z + 15 = 0$

$3x - 2y - 5z + 16 = 0$

Ответ: $3x - 2y - 5z + 16 = 0$

2) Даны точки $M_1(-3; 1; -2)$, $M_2(-2; 0; 3)$, $M_3(1; 1; -1)$.

Найдем координаты векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$\vec{M_1M_2} = (-2-(-3), 0-1, 3-(-2)) = (1, -1, 5)$

$\vec{M_1M_3} = (1-(-3), 1-1, -1-(-2)) = (4, 0, 1)$

Подставим координаты в определитель:

$ \begin{vmatrix} x + 3 & y - 1 & z + 2 \\ 1 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$(x+3)((-1)(1) - 5(0)) - (y-1)(1(1) - 5(4)) + (z+2)(1(0) - (-1)(4)) = 0$

$(x+3)(-1) - (y-1)(1 - 20) + (z+2)(0 + 4) = 0$

$-1(x+3) + 19(y-1) + 4(z+2) = 0$

$-x - 3 + 19y - 19 + 4z + 8 = 0$

$-x + 19y + 4z - 14 = 0$

Умножим уравнение на -1 для более удобного вида:

$x - 19y - 4z + 14 = 0$

Ответ: $x - 19y - 4z + 14 = 0$

3) Даны точки $M_1(2; -1; 3)$, $M_2(0; 1; 4)$, $M_3(2; -2; 0)$.

Найдем координаты векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$\vec{M_1M_2} = (0-2, 1-(-1), 4-3) = (-2, 2, 1)$

$\vec{M_1M_3} = (2-2, -2-(-1), 0-3) = (0, -1, -3)$

Подставим координаты в определитель:

$ \begin{vmatrix} x - 2 & y + 1 & z - 3 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$(x-2)(2(-3) - 1(-1)) - (y+1)((-2)(-3) - 1(0)) + (z-3)((-2)(-1) - 2(0)) = 0$

$(x-2)(-6 + 1) - (y+1)(6 - 0) + (z-3)(2 - 0) = 0$

$-5(x-2) - 6(y+1) + 2(z-3) = 0$

$-5x + 10 - 6y - 6 + 2z - 6 = 0$

$-5x - 6y + 2z - 2 = 0$

Умножим уравнение на -1:

$5x + 6y - 2z + 2 = 0$

Ответ: $5x + 6y - 2z + 2 = 0$

4) Даны точки $M_1(1; 2; -2)$, $M_2(3; 0; 4)$, $M_3(0; 3; -4)$.

Найдем координаты векторов $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$\vec{M_1M_2} = (3-1, 0-2, 4-(-2)) = (2, -2, 6)$

$\vec{M_1M_3} = (0-1, 3-2, -4-(-2)) = (-1, 1, -2)$

Подставим координаты в определитель:

$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z + 2 \\ 2 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$(x-1)((-2)(-2) - 6(1)) - (y-2)(2(-2) - 6(-1)) + (z+2)(2(1) - (-2)(-1)) = 0$

$(x-1)(4 - 6) - (y-2)(-4 + 6) + (z+2)(2 - 2) = 0$

$-2(x-1) - 2(y-2) + 0(z+2) = 0$

$-2x + 2 - 2y + 4 = 0$

$-2x - 2y + 6 = 0$

Разделим все уравнение на -2:

$x + y - 3 = 0$

Ответ: $x + y - 3 = 0$