Номер 2.4, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Найдите вектор нормали плоскости, заданной уравнениями из предыдущей задачи.

Для решения этой задачи необходимо знать уравнения плоскостей из предыдущей задачи (2.3). Так как эти уравнения не предоставлены, мы рассмотрим общий метод нахождения вектора нормали и решим несколько типовых примеров, которые могли бы быть в предыдущей задаче.

Вектор нормали к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Если плоскость задана общим уравнением вида $Ax + By + Cz + D = 0$, то ее вектор нормали $\vec{n}$ имеет координаты, которые являются коэффициентами при переменных $x$, $y$ и $z$ в этом уравнении.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}$ для плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид: $\vec{n} = (A; B; C)$.

Рассмотрим несколько гипотетических примеров.

а) Пусть уравнение плоскости: $3x - 7y + \sqrt{2}z - 10 = 0$.

Это общее уравнение плоскости. Коэффициенты при $x$, $y$ и $z$ определяют координаты вектора нормали. В данном случае: $A = 3$, $B = -7$, $C = \sqrt{2}$. Следовательно, вектор нормали к этой плоскости равен $\vec{n} = (3; -7; \sqrt{2})$.

Ответ: $\vec{n} = (3; -7; \sqrt{2})$.

б) Пусть уравнение плоскости: $5x - z + 2 = 0$.

В этом уравнении отсутствует переменная $y$. Это означает, что плоскость параллельна оси $Oy$, а коэффициент при $y$ в общем уравнении равен нулю. Коэффициенты уравнения: $A = 5$, $B = 0$, $C = -1$. Таким образом, вектор нормали имеет координаты $\vec{n} = (5; 0; -1)$.

Ответ: $\vec{n} = (5; 0; -1)$.

в) Пусть уравнение плоскости: $4y = 0$.

Это уравнение можно переписать в виде $y = 0$, что представляет собой координатную плоскость $xOz$. В общем виде уравнение выглядит как $0x + 4y + 0z + 0 = 0$. Коэффициенты: $A = 0$, $B = 4$, $C = 0$. Вектор нормали $\vec{n} = (0; 4; 0)$. Любой вектор, коллинеарный этому вектору, также является вектором нормали, например, $\vec{n'} = (0; 1; 0)$. Однако, обычно берут коэффициенты непосредственно из уравнения.

Ответ: $\vec{n} = (0; 4; 0)$.

г) Пусть в предыдущей задаче нужно было составить уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(1; 2; 0)$, $M_2(3; 0; 1)$ и $M_3(1; 1; 1)$.

Чтобы найти вектор нормали, не обязательно даже выводить полное уравнение плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Найдем два таких вектора, например, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$: $\vec{M_1M_2} = (3-1; 0-2; 1-0) = (2; -2; 1)$ $\vec{M_1M_3} = (1-1; 1-2; 1-0) = (0; -1; 1)$ Вектор нормали $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение этих векторов: $\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$ Вычислим определитель: $\vec{n} = \vec{i}((-2) \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot 0)$ $\vec{n} = \vec{i}(-2 + 1) - \vec{j}(2 - 0) + \vec{k}(-2 - 0)$ $\vec{n} = -1\vec{i} - 2\vec{j} - 2\vec{k}$ Таким образом, вектор нормали имеет координаты $(-1; -2; -2)$. Можно также взять противоположный вектор $(1; 2; 2)$, он тоже будет вектором нормали.

Ответ: $\vec{n} = (-1; -2; -2)$.