Работа в группе, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Выполните следующее задание.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$, $M_2(x_2; y_2; z_2)$ и $M_3(x_3; y_3; z_3)$. Сначала выясните, какую из заданных точек можно брать в качестве $M_0$, и какие векторы принимаются в качестве векторов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$, затем приступайте к выполнению следующего задания.

2.1.3. Определение направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением

В пространстве прямую можно задавать в виде пересечения двух плоскостей. Если уравнениями $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ заданы две плоскости, то следующей системой уравнений определяется некоторая прямая в пространстве:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0, \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0. \end{cases} \tag{8}$$

Систему уравнений (8) называют общим уравнением прямой.

Задание 1-й группы

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки $M_1(0; 7; 2)$, $M_2(0; 1; 6)$, $M_3(-1; 5; 0)$, необходимо сначала выбрать опорную точку и два направляющих вектора. В качестве опорной точки $M_0$ можно взять любую из трех заданных, например, $M_1$. В качестве направляющих векторов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ можно взять векторы, соединяющие опорную точку с двумя другими.

Выберем точку $M_0 = M_1(0; 7; 2)$. Найдем координаты векторов:

$\vec{p_1} = \vec{M_1M_2} = (0-0; 1-7; 6-2) = (0; -6; 4)$

$\vec{p_2} = \vec{M_1M_3} = (-1-0; 5-7; 0-2) = (-1; -2; -2)$

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с направляющими векторами $\vec{p_1}=(a_1; b_1; c_1)$ и $\vec{p_2}=(a_2; b_2; c_2)$, можно найти, приравняв к нулю смешанное произведение векторов $\vec{M_0M}$, $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$:

$ \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0 $

Подставим координаты точки $M_1$ и векторов $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$:

$ \begin{vmatrix} x - 0 & y - 7 & z - 2 \\ 0 & -6 & 4 \\ -1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$x \cdot ((-6) \cdot (-2) - 4 \cdot (-2)) - (y - 7) \cdot (0 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1)) + (z - 2) \cdot (0 \cdot (-2) - (-6) \cdot (-1)) = 0$

$x \cdot (12 + 8) - (y - 7) \cdot (0 + 4) + (z - 2) \cdot (0 - 6) = 0$

$20x - 4(y - 7) - 6(z - 2) = 0$

$20x - 4y + 28 - 6z + 12 = 0$

$20x - 4y - 6z + 40 = 0$

Сократим уравнение на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$10x - 2y - 3z + 20 = 0$

Ответ: $10x - 2y - 3z + 20 = 0$

Задание 2-й группы

Даны точки $M_1(4; -4; 10)$, $M_2(4; 10; -2)$, $M_3(2; 8; 4)$.

В качестве опорной точки $M_0$ выберем $M_1(4; -4; 10)$. В качестве направляющих векторов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ возьмем векторы $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{p_1} = \vec{M_1M_2} = (4-4; 10-(-4); -2-10) = (0; 14; -12)$

$\vec{p_2} = \vec{M_1M_3} = (2-4; 8-(-4); 4-10) = (-2; 12; -6)$

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарные векторы с меньшими координатами, разделив координаты каждого на 2: $\vec{p_1}' = (0; 7; -6)$ и $\vec{p_2}' = (-1; 6; -3)$.

Составим уравнение плоскости в виде определителя:

$ \begin{vmatrix} x - 4 & y - (-4) & z - 10 \\ 0 & 7 & -6 \\ -1 & 6 & -3 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x - 4 & y + 4 & z - 10 \\ 0 & 7 & -6 \\ -1 & 6 & -3 \end{vmatrix} = 0$

Раскроем определитель:

$(x - 4) \cdot (7 \cdot (-3) - (-6) \cdot 6) - (y + 4) \cdot (0 \cdot (-3) - (-6) \cdot (-1)) + (z - 10) \cdot (0 \cdot 6 - 7 \cdot (-1)) = 0$

$(x - 4) \cdot (-21 + 36) - (y + 4) \cdot (0 - 6) + (z - 10) \cdot (0 + 7) = 0$

$15(x - 4) + 6(y + 4) + 7(z - 10) = 0$

$15x - 60 + 6y + 24 + 7z - 70 = 0$

$15x + 6y + 7z - 106 = 0$

Ответ: $15x + 6y + 7z - 106 = 0$

Задание 3-й группы

Даны точки $M_1(6; 6; -5)$, $M_2(4; -9; 5)$, $M_3(4; 6; -1)$.

Выберем опорную точку $M_0 = M_1(6; 6; -5)$ и найдем направляющие векторы $\vec{p_1} = \vec{M_1M_2}$ и $\vec{p_2} = \vec{M_1M_3}$.

Координаты векторов:

$\vec{p_1} = \vec{M_1M_2} = (4-6; -9-6; 5-(-5)) = (-2; -15; 10)$

$\vec{p_2} = \vec{M_1M_3} = (4-6; 6-6; -1-(-5)) = (-2; 0; 4)$

Можно упростить вектор $\vec{p_2}$, взяв коллинеарный ему вектор $\vec{p_2}' = (-1; 0; 2)$.

Составим уравнение плоскости:

$ \begin{vmatrix} x - 6 & y - 6 & z - (-5) \\ -2 & -15 & 10 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x - 6 & y - 6 & z + 5 \\ -2 & -15 & 10 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$

Раскроем определитель:

$(x - 6) \cdot (-15 \cdot 2 - 10 \cdot 0) - (y - 6) \cdot (-2 \cdot 2 - 10 \cdot (-1)) + (z + 5) \cdot (-2 \cdot 0 - (-15) \cdot (-1)) = 0$

$(x - 6) \cdot (-30) - (y - 6) \cdot (-4 + 10) + (z + 5) \cdot (0 - 15) = 0$

$-30(x - 6) - 6(y - 6) - 15(z + 5) = 0$

Разделим уравнение на -3:

$10(x - 6) + 2(y - 6) + 5(z + 5) = 0$

$10x - 60 + 2y - 12 + 5z + 25 = 0$

$10x + 2y + 5z - 47 = 0$

Ответ: $10x + 2y + 5z - 47 = 0$

Задание 4-й группы

Даны точки $M_1(7; 2; 2)$, $M_2(4; -2; 4)$, $M_3(2; 3; 7)$.

Опорной точкой $M_0$ выберем $M_1(7; 2; 2)$. Направляющими векторами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ будут $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$.

Найдем их координаты:

$\vec{p_1} = \vec{M_1M_2} = (4-7; -2-2; 4-2) = (-3; -4; 2)$

$\vec{p_2} = \vec{M_1M_3} = (2-7; 3-2; 7-2) = (-5; 1; 5)$

Составим уравнение плоскости в виде определителя:

$ \begin{vmatrix} x - 7 & y - 2 & z - 2 \\ -3 & -4 & 2 \\ -5 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:

$(x - 7) \cdot (-4 \cdot 5 - 2 \cdot 1) - (y - 2) \cdot (-3 \cdot 5 - 2 \cdot (-5)) + (z - 2) \cdot (-3 \cdot 1 - (-4) \cdot (-5)) = 0$

$(x - 7) \cdot (-20 - 2) - (y - 2) \cdot (-15 + 10) + (z - 2) \cdot (-3 - 20) = 0$

$-22(x - 7) - (-5)(y - 2) - 23(z - 2) = 0$

$-22(x - 7) + 5(y - 2) - 23(z - 2) = 0$

$-22x + 154 + 5y - 10 - 23z + 46 = 0$

$-22x + 5y - 23z + 190 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$22x - 5y + 23z - 190 = 0$

Ответ: $22x - 5y + 23z - 190 = 0$