Работа в группе, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Отвечая на заданные вопросы, выполните следующее задание.

I задание.

1) Можно ли провести прямую, проходящую через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ параллельно вектору $\vec{p}(m; n; k)$?

Если да, то сколько прямых, проходящих через точку $M_0$ параллельно вектору $\vec{p}$, можно провести?

2) Пусть $M(x; y; z)$ произвольная точка прямой $\text{l}$. Объясните, как будут располагаться векторы $\vec{M_0M}$ и $\vec{p}$ в пространстве.

3) Как пишется условие коллинеарности векторов в пространстве? Напишите координаты вектора $\vec{M_0M}$ и условие коллинеарности векторов $\vec{M_0M}$ и $\vec{p}$.

4) Обозначьте коэффициент пропорциональности через $\text{t}$ и покажите, что условие коллинеарности векторов $\vec{M_0M}$ и $\vec{p}$ можно записать в следующем виде:

$\begin{cases} x = x_0 + mt, \\ y = y_0 + nt, \\ z = z_0 + kt. \end{cases}$

Как называется это уравнение? Напишите параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку $M(2; -1; 0)$ параллельно вектору $\vec{p}(3; 2; -2)$.

Итак, параметрическое уравнение прямой $\text{l}$, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ параллельно направляющему вектору $\vec{p}(m; n; k)$, записывается следующим образом (рис. 2.1):

$\begin{cases} x = x_0 + mt, \\ y = y_0 + nt, \\ z = z_0 + kt. \end{cases}$

(1)

Рис. 2.1

1) Да, через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ можно провести прямую, параллельную вектору $\vec{p}(m; n; k)$. Вектор $\vec{p}$ в данном случае будет направляющим вектором этой прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. По аналогии, через любую точку пространства можно провести только одну прямую, имеющую заданное направление (т.е. параллельную заданному вектору).

Ответ: Да, можно провести одну и только одну такую прямую.

2) Если прямая $l$ проходит через точку $M_0$ и параллельна вектору $\vec{p}$, то $\vec{p}$ является ее направляющим вектором. Любая точка $M(x; y; z)$, принадлежащая прямой $l$, образует с точкой $M_0$ вектор $\overrightarrow{M_0M}$. Поскольку обе точки, $M_0$ и $M$, лежат на прямой $l$, то вектор $\overrightarrow{M_0M}$ лежит на этой прямой. Следовательно, вектор $\overrightarrow{M_0M}$ будет параллелен (коллинеарен) направляющему вектору прямой $\vec{p}$.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{M_0M}$ и $\vec{p}$ будут коллинеарны.

3) Условие коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). То есть, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $t$, что $\vec{a} = t \cdot \vec{b}$. Это равносильно тому, что их соответствующие координаты пропорциональны.

Координаты вектора $\overrightarrow{M_0M}$ находятся как разность координат его конца (точка $M(x; y; z)$) и начала (точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$):

$\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0; y - y_0; z - z_0)$.

Условие коллинеарности векторов $\overrightarrow{M_0M}$ и $\vec{p}(m; n; k)$ записывается как $\overrightarrow{M_0M} = t \cdot \vec{p}$ для некоторого скаляра $t$. В координатах это выглядит как пропорциональность координат:

$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{k} = t$

(при условии, что $m, n, k$ не равны нулю).

Ответ: Координаты вектора $\overrightarrow{M_0M}$ равны $(x - x_0; y - y_0; z - z_0)$. Условие коллинеарности векторов $\overrightarrow{M_0M}$ и $\vec{p}$ записывается как $\overrightarrow{M_0M} = t \cdot \vec{p}$, где $t$ — некоторое число.

4) Обозначим коэффициент пропорциональности через $t$. Условие коллинеарности векторов $\overrightarrow{M_0M}$ и $\vec{p}$ имеет вид $\overrightarrow{M_0M} = t\vec{p}$. Запишем это векторное равенство в координатной форме, используя координаты векторов $\overrightarrow{M_0M}(x - x_0; y - y_0; z - z_0)$ и $\vec{p}(m; n; k)$:

$(x - x_0; y - y_0; z - z_0) = t \cdot (m; n; k)$

$(x - x_0; y - y_0; z - z_0) = (mt; nt; kt)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравнивая их, получаем систему:

$\begin{cases} x - x_0 = mt \\ y - y_0 = nt \\ z - z_0 = kt \end{cases}$

Выразив из каждого уравнения переменные $x, y, z$, получим:

$\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + kt \end{cases}$

Эта система уравнений называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Напишем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2; -1; 0)$ параллельно вектору $\vec{p}(3; 2; -2)$.

В данном случае $x_0 = 2, y_0 = -1, z_0 = 0$ и $m = 3, n = 2, k = -2$. Подставляем эти значения в общую формулу:

$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 0 + (-2)t \end{cases}$

Упрощая, получаем итоговое уравнение:

$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = -2t \end{cases}$

Ответ: Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой. Искомое уравнение: $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = -2t \end{cases}$.