Номер 1.99, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.99. Основанием пирамиды является квадрат и все ребра пира-миды равны 10 см. Докажите, что площадь ее полной поверхности такова: $S_{\text{полн}} = 25(4+\sqrt{3}) \text{ см}^2$ (рис. 1.50).

Рис. 1.50

Для того чтобы доказать или опровергнуть данное утверждение, вычислим площадь полной поверхности пирамиды на основе предоставленных данных.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Вычисление площади основания

В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Согласно условию, все ребра пирамиды равны 10 см, значит, и сторона квадрата $a$ также равна 10 см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{осн} = 10^2 = 100$ см².

Вычисление площади боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольных граней. Рассмотрим любую из них, например, грань $HBC$. Ее стороны — это боковые ребра $HB$, $HC$ и ребро основания $BC$. По условию, все эти ребра равны 10 см.

Следовательно, все боковые грани являются равными между собой равносторонними треугольниками со стороной $a = 10$ см.

Площадь одного равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a=10$ см:

$S_{\triangle} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

Поскольку боковая поверхность состоит из четырех таких одинаковых треугольников, ее общая площадь равна:

$S_{бок} = 4 \times S_{\triangle} = 4 \times 25\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$ см².

Вычисление площади полной поверхности

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 100\sqrt{3}$ см².

Полученное выражение можно также записать, вынеся общий множитель за скобки:

$S_{полн} = 100(1 + \sqrt{3})$ см².

Проверка утверждения из условия задачи

В задаче требуется доказать, что площадь полной поверхности равна $S_{полн} = 25(4 + \sqrt{3})$ см². Давайте раскроем скобки в этом выражении:

$25(4 + \sqrt{3}) = 25 \times 4 + 25 \times \sqrt{3} = 100 + 25\sqrt{3}$ см².

Сравнивая результат нашего вычисления с формулой из условия, мы видим, что они не совпадают:

$100 + 100\sqrt{3} \neq 100 + 25\sqrt{3}$

Следовательно, утверждение, приведенное в условии задачи, является неверным для пирамиды с указанными параметрами. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Выражение $100 + 25\sqrt{3}$ соответствовало бы площади пирамиды, у которой площадь боковой поверхности равна $25\sqrt{3}$ см², что равно площади лишь одной, а не четырех боковых граней.

Таким образом, доказать равенство, предложенное в задаче, невозможно, так как оно не является верным.

Ответ: Исходя из условий, что основанием пирамиды является квадрат и все ребра равны 10 см, площадь ее полной поверхности равна $S_{полн} = 100 + 100\sqrt{3}$ см². Утверждение, что $S_{полн} = 25(4 + \sqrt{3})$ см², является неверным.