Номер 1.98, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. На рисунке 1.49 дан тетраэдр, у которого все ребра равны 3 см. Найдите:

1) высоту;

2) площадь полной поверхности тетраэдра (рис. 1.49).

Рис. 1.49

1) высоту;

Данный тетраэдр является правильным, так как все его ребра равны $a = 3$ см. Это означает, что все его грани – равные равносторонние треугольники. Высота правильного тетраэдра $HO$ проецируется в центр его основания $O$, который является центром равностороннего треугольника $ABC$. Точка $O$ – это точка пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Найдем положение точки $O$ в основании $ABC$. Проведем медиану (которая также является высотой) $AM$ в треугольнике $ABC$. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим $a=3$ см: $AM = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Точка пересечения медиан $O$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, мы можем найти длину отрезка $AO$: $AO = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO$, где $HO$ – высота тетраэдра (обозначим ее $h$), $AO$ – катет, $AH$ – гипотенуза, являющаяся ребром тетраэдра ($AH = 3$ см). По теореме Пифагора: $AH^2 = AO^2 + HO^2$

Выразим и найдем высоту $h$: $h^2 = AH^2 - AO^2$ $h^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$ $h = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.

2) площадь полной поверхности тетраэдра;

Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$ складывается из площадей четырех его граней. Каждая грань – это равносторонний треугольник со стороной $a = 3$ см.

Площадь равностороннего треугольника $S_{грани}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a=3$ см, чтобы найти площадь одной грани: $S_{грани} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

Так как у тетраэдра 4 одинаковые грани, площадь полной поверхности равна: $S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Ответ: $9\sqrt{3}$ см².