Номер 1.93, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.93. Решите предыдущую задачу, вместо правильной усеченной четырехугольной пирамиды взяв правильную усеченную треугольную пирамиду.

Поскольку в условии задачи 1.93 указано "решите предыдущую задачу", необходимо обратиться к условиям задачи 1.92. Будем считать, что в предыдущей задаче требовалось найти объем правильной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований равны $A$ и $a$, а боковое ребро составляет с плоскостью большего основания угол $\alpha$. В данной задаче мы решаем аналогичную проблему, но для правильной усеченной треугольной пирамиды.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}H(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $H$ — высота усеченной пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади ее большего и меньшего оснований соответственно.

Основаниями правильной усеченной треугольной пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $L$ равна $S = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}$. Следовательно, площади оснований нашей пирамиды равны:

• Площадь большего основания: $S_1 = \frac{A^2 \sqrt{3}}{4}$.
• Площадь меньшего основания: $S_2 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$. Высота, боковое ребро и проекция бокового ребра на плоскость большего основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания равен заданному углу $\alpha$. Катет, противолежащий этому углу, является высотой пирамиды $H$, а прилежащий катет — это длина проекции бокового ребра на плоскость основания.

Длина проекции бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей большего и меньшего оснований: $p = R_1 - R_2$. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $L$, вычисляется по формуле $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$. Таким образом, радиусы для наших оснований: $R_1 = \frac{A}{\sqrt{3}}$ и $R_2 = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Длина проекции бокового ребра равна: $p = R_1 - R_2 = \frac{A}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{A-a}{\sqrt{3}}$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и его проекцией, находим высоту $H$: $H = p \cdot \tan(\alpha) = \frac{A-a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)$.

Подставим найденные значения $H$, $S_1$ и $S_2$ в формулу для объема. Сначала вычислим выражение в скобках: $S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2 = \frac{A^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{A^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{A^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{Aa \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(A^2 + Aa + a^2)$.

Теперь вычислим объем: $V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{A-a}{\sqrt{3}} \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(A^2 + Aa + a^2)\right)$. Сокращая $\sqrt{3}$, получаем: $V = \frac{1}{12} (A-a)(A^2 + Aa + a^2) \tan(\alpha)$. Используя формулу разности кубов $A^3 - a^3 = (A-a)(A^2 + Aa + a^2)$, окончательно получаем: $V = \frac{A^3 - a^3}{12} \tan(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{A^3 - a^3}{12} \tan(\alpha)$.