Номер 1.94, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.94. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8 м, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$. Найдите:

1) боковое ребро;

2) площадь боковой поверхности.

1) боковое ребро

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Сторона основания $a = 8$ м.

Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром (например, $SA$) и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Таким образом, по условию задачи, угол $\angle SAO = 60^\circ$.

Так как пирамида правильная, в её основании лежит правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины (радиус описанной окружности) равно длине его стороны. Следовательно, $OA = a = 8$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Он является прямоугольным, поскольку $SO$ — высота пирамиды и, следовательно, перпендикулярна плоскости основания (значит, $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $OA = 8$ м и прилежащий к нему угол $\angle SAO = 60^\circ$. Боковое ребро $SA$ является гипотенузой этого треугольника. Обозначим длину бокового ребра как $l$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA}$

$\cos(60^\circ) = \frac{8}{l}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{l}$

Из этого уравнения находим длину бокового ребра:

$l = 2 \cdot 8 = 16$ м.

Ответ: 16 м.

2) площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной шестиугольной пирамиды состоит из суммы площадей шести одинаковых равнобедренных треугольников (боковых граней).

Рассмотрим одну из боковых граней, например, треугольник $\triangle SAB$. Его основание $AB = a = 8$ м, а боковые стороны $SA = SB = l = 16$ м.

Для нахождения площади этого треугольника нам нужна его высота, которая также является апофемой пирамиды. Обозначим её $h_s$. Проведём высоту $SM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $AB$.

$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ м.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ ($\angle SMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$SA^2 = AM^2 + SM^2$

$l^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_s^2$

Подставляем известные значения:

$16^2 = 4^2 + h_s^2$

$256 = 16 + h_s^2$

$h_s^2 = 256 - 16 = 240$

$h_s = \sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = 4\sqrt{15}$ м.

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{15} = 16\sqrt{15}$ м$^2$.

Площадь всей боковой поверхности равна площади одной грани, умноженной на 6:

$S_{бок} = 6 \cdot S_{\triangle SAB} = 6 \cdot 16\sqrt{15} = 96\sqrt{15}$ м$^2$.

Ответ: $96\sqrt{15}$ м$^2$.