Номер 1.90, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Постройте: 1) треугольную; 2) четырехугольную пирамиду, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Укажите основание ее высоты.

1) Пусть нам нужно построить треугольную пирамиду SABC, где ABC — треугольник в основании, а S — вершина. По условию, две боковые грани должны быть перпендикулярны плоскости основания. Выберем в качестве таких граней смежные грани, например, (SAB) и (SAC).

Итак, дано, что плоскость грани (SAB) перпендикулярна плоскости основания (ABC), и плоскость грани (SAC) также перпендикулярна плоскости основания (ABC). В виде формул: $(SAB) \perp (ABC)$ и $(SAC) \perp (ABC)$.

В стереометрии есть теорема: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости (SAB) и (SAC) пересекаются по общему ребру SA. Согласно указанной теореме, из того, что $(SAB) \perp (ABC)$ и $(SAC) \perp (ABC)$, следует, что их линия пересечения SA перпендикулярна плоскости (ABC). То есть, $SA \perp (ABC)$.

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Поскольку ребро SA перпендикулярно плоскости основания, оно и является высотой пирамиды.

Основание высоты — это точка, в которой высота пересекает плоскость основания. В нашем случае это точка A.

Построение:

1. В плоскости начертим произвольный треугольник ABC — основание пирамиды.

2. Из вершины A треугольника восстановим перпендикуляр к плоскости (ABC). На этом перпендикуляре выберем точку S — вершину пирамиды. Отрезок SA будет высотой.

3. Соединим точку S с другими вершинами основания, B и C. Получим боковые ребра SB и SC и боковые грани (SAB), (SBC) и (SAC).

Построенная пирамида SABC удовлетворяет условию, так как грани (SAB) и (SAC) проходят через высоту SA, перпендикулярную плоскости основания, а значит, сами перпендикулярны этой плоскости.

Основанием высоты SA является точка A — общая вершина для сторон основания AB и AC, которые являются основаниями перпендикулярных боковых граней.

Ответ: Основанием высоты является общая вершина основания, принадлежащая двум боковым граням, которые перпендикулярны плоскости основания.

2) Построим четырехугольную пирамиду SABCD, где ABCD — четырехугольник в основании, а S — вершина. По условию, две боковые грани должны быть перпендикулярны плоскости основания. Как и в предыдущем случае, выберем две смежные боковые грани, например, (SAB) и (SAD).

Условие задачи означает, что $(SAB) \perp (ABCD)$ и $(SAD) \perp (ABCD)$.

Две данные плоскости (SAB) и (SAD) пересекаются по боковому ребру SA. Применяя ту же теорему, что и в пункте 1, заключаем, что линия пересечения SA перпендикулярна плоскости основания (ABCD). Таким образом, $SA \perp (ABCD)$.

Ребро SA, будучи перпендикулярным плоскости основания, является высотой данной пирамиды.

Основание высоты — это точка пересечения ребра SA с плоскостью основания, то есть точка A.

Построение:

1. В плоскости начертим произвольный четырехугольник ABCD — основание пирамиды (для наглядности его часто изображают в виде параллелограмма).

2. Из вершины A четырехугольника восстановим перпендикуляр к плоскости (ABCD) и отметим на нем точку S.

3. Соединим вершину S с другими вершинами основания B, C и D.

Полученная пирамида SABCD будет искомой. Две ее боковые грани (SAB) и (SAD) перпендикулярны плоскости основания (ABCD), так как они содержат высоту пирамиды SA.

Основанием высоты является вершина A, которая является общей для сторон основания AB и AD.

Ответ: Основанием высоты является общая вершина основания, принадлежащая двум боковым граням, которые перпендикулярны плоскости основания.