Номер 1.101, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а ее высота $-$ $\sqrt{22}$ см. Найдите:

1) апофему;

2) двугранный угол при основании;

3) угол между боковым ребром и плоскостью основания.

1) апофему;

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ – основание, а $S$ – вершина. Сторона основания $a = AB = 6$ см. Высота пирамиды $H = SO = \sqrt{22}$ см, где $O$ – центр правильного треугольника $ABC$.

Апофема пирамиды – это высота ее боковой грани. Проведем апофему $SM$, где $M$ – середина стороны $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. В нем $SO$ – высота пирамиды, $SM$ – апофема, а $OM$ – радиус окружности, вписанной в основание.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Вычислим $OM$: $OM = r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора в треугольнике $SOM$: $SM^2 = SO^2 + OM^2$ $SM^2 = (\sqrt{22})^2 + (\sqrt{3})^2 = 22 + 3 = 25$ $SM = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2) двугранный угол при основании;

Двугранный угол при основании – это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. В нашей пирамиде это линейный угол $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Мы знаем катеты этого треугольника: $SO = \sqrt{22}$ см и $OM = \sqrt{3}$ см.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan \alpha = \frac{SO}{OM} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{22}{3}}$

Следовательно, искомый угол равен $\alpha = \arctan\left(\sqrt{\frac{22}{3}}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\sqrt{\frac{22}{3}}\right)$.

3) угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Угол между боковым ребром (например, $SB$) и плоскостью основания – это угол между ребром $SB$ и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок $OB$. Таким образом, искомый угол – это $\angle SBO$. Обозначим его как $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. В нем $SO$ – высота пирамиды, а $OB$ – радиус окружности, описанной около основания.

Радиус описанной около правильного треугольника окружности со стороной $a$ находится по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Вычислим $OB$: $OB = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan \beta = \frac{SO}{OB} = \frac{\sqrt{22}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{66}}{6}$

Следовательно, искомый угол равен $\beta = \arctan\left(\frac{\sqrt{66}}{6}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{\sqrt{66}}{6}\right)$.