Номер 1.100, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.100. На рис. 1.51 изображена композиция из пяти пирамид и одного параллелепипеда. Основанием параллелепипеда является квадрат со стороной 6 см. Высоты параллелепипеда и пирамиды равны 2 см. Докажите, что площадь полной поверхности многогранника равна $20(5 + \sqrt{5}) \text{ см}^2$ (рис. 1.51).

Рис. 1.51

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ данного многогранника складывается из следующих частей: площади нижнего основания параллелепипеда ($S_{нижн}$), площади его боковой поверхности ($S_{бок.пар}$), площади открытой (не покрытой пирамидами) части верхнего основания ($S_{откр}$) и суммарной площади боковых поверхностей всех пяти пирамид ($S_{бок.пир}$).

Формула для расчета будет выглядеть так: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{бок.пар} + S_{откр} + S_{бок.пир}$.

Вычислим каждую из этих площадей по отдельности.

1. Площадь нижнего основания параллелепипеда ($S_{нижн}$)

Основание параллелепипеда — это квадрат со стороной $a = 6$ см. Его площадь равна:

$S_{нижн} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Площадь боковой поверхности параллелепипеда ($S_{бок.пар}$)

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых прямоугольных граней. Каждая грань имеет размеры $6$ см на $2$ см (высота параллелепипеда $h_{пар} = 2$ см). Площадь боковой поверхности — это произведение периметра основания на высоту:

$S_{бок.пар} = (4 \cdot a) \cdot h_{пар} = (4 \cdot 6) \cdot 2 = 24 \cdot 2 = 48$ см².

3. Площадь открытой части верхнего основания ($S_{откр}$)

Верхнее основание параллелепипеда представляет собой квадрат $6 \times 6$ см, его общая площадь — $36$ см². На нем расположены 5 пирамид. Из рисунка видно, что сторона основания каждой пирамиды $s$ в три раза меньше стороны основания параллелепипеда: $s = 6 / 3 = 2$ см. Основание каждой пирамиды — квадрат, его площадь $s^2 = 2^2 = 4$ см². Суммарная площадь, занимаемая основаниями пяти пирамид, составляет $5 \cdot 4 = 20$ см². Таким образом, площадь открытой части верхнего основания равна разности общей площади и площади, занятой пирамидами:

$S_{откр} = 36 - 20 = 16$ см².

4. Суммарная площадь боковых поверхностей пяти пирамид ($S_{бок.пир}$)

Все пять пирамид одинаковы. Каждая из них — правильная четырехугольная пирамида с высотой $h_{пир} = 2$ см и стороной основания $s = 2$ см. Боковая поверхность одной пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади такого треугольника нам нужна его высота, которая является апофемой пирамиды ($l$).

Найдем апофему по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h_{пир}$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой его стороны (длиной $s/2$):

$l = \sqrt{h_{пир}^2 + (s/2)^2} = \sqrt{2^2 + (2/2)^2} = \sqrt{4 + 1^2} = \sqrt{5}$ см.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани (треугольника):

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$ см².

Поскольку у одной пирамиды 4 такие грани, ее боковая поверхность равна:

$S_{1.бок.пир} = 4 \cdot S_{грань} = 4\sqrt{5}$ см².

В композиции 5 таких пирамид, поэтому их суммарная боковая площадь:

$S_{бок.пир} = 5 \cdot S_{1.бок.пир} = 5 \cdot 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}$ см².

5. Площадь полной поверхности многогранника

Сложим все вычисленные площади:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{бок.пар} + S_{откр} + S_{бок.пир} = 36 + 48 + 16 + 20\sqrt{5}$

$S_{полн} = 100 + 20\sqrt{5}$ см².

Чтобы привести результат к виду, указанному в задаче, вынесем общий множитель 20 за скобки:

$S_{полн} = 20 \cdot 5 + 20 \cdot \sqrt{5} = 20(5 + \sqrt{5})$ см².

Таким образом, утверждение, что площадь полной поверхности многогранника равна $20(5 + \sqrt{5})$ см², доказано.

Ответ: Утверждение доказано, так как в результате вычислений площадь полной поверхности многогранника действительно равна $20(5 + \sqrt{5})$ см².